《高等数学》第一章 函数与极限（电子讲稿）.doc

第一章 函数与极限高等数学研究的对象是函数，所谓函数就是变量之间的依赖关系．极限方法是研究变量的一种重要的基本方法，它是学习微分学、积分学的基础．本章将介绍集合、函数、极限和函数的连续性等基本概念及其性质.第一节 函 数一、集合集合是数学中的一个基本概念，一个班的全体学生构成一个集合，全体整数构成一个集合等等．一般地，具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合（简称集）．组成这个集合的事物称为这个集合的元素（简称元）．集合通常用大写的英文字母，，，…表示，其元素则用小写的英文字母，，，…表示．如果是集合的元素，就说属于，记作，否则，就说不属于，记作．含有有限个元素的集合称为有限集；不是有限集的集合称为无限集．对于数集，习惯上全体自然数的集合记作；全体整数的集合记作；全体有理数的集合记作；全体实数的集合记作．我们有时在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示该数集内排除0的集，标上“＋”来表示该数集内排除0与负数的集．例如，全体正整数的集合记作，即．如果集合的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作或．如果集合与集合互为子集，则称集合与集合相等，记作，即且．如果且，则称集合是集合的真子集，记作．不含任何元素的集合称为空集，记作，规定空集是任何集合的子集，即．集合的基本运算有交、并、差等．设、两个集合，由所有既属于又属于的元素组成的集合，称为与的交集（简称交），记作，即 ； 由所有属于或者属于的元素组成的集合，称为与的并集（简称并），记作，即 ；由所有属于而不属于的元素组成的集合，称为与的差集（简称差），记作\，即 \；有时我们所研究的集合、都是集合的子集，此时，称集合为全集或基本集，称\为的余集或补集，记作．设、、为任意3个集合，则集合的交、并、余运算满足下列运算规律：交换律 ，；　　结合律　 ，；分配律　 ，；对偶律　 ，．二、区间和邻域所谓有限区间是指介于两个实数与之间的一切实数，在数轴上就是从到的线段．与称为区间的端点，当时，称为左端点，称为右端点．数集称为开区间，记作；数集≤≤称为闭区间，记作．类似地，数集≤，≤称为半开区间，分别记作和．除了上述这些有限区间以外，还有各种无限区间．引进记号（读作正无穷大）及（读作负无穷大），则可类似地表示无限区间，例如，集合可记为，集合可记为，全体实数的集合也可记为．闭区间、开区间及无限区间和在数轴上表示分别如图11（）、（）、（）和（）所示．以后我们会看到，有些定理的成立与变量的区间的开闭有很大关系，但有些情形不需要考虑区间的开闭以及是有限区间还是无限区间，此时，我们常常统称为区间，并记作．有一类特殊的区间，我们称为邻域，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作．设是任一正数，以点为中心，以为半径的开区间，即开区间称为点的邻域，记作（图12）．依定义有 或 .因为表示点与点之间的距离，所以点的邻域表示与点距离小于的一切点的全体．如果把点的邻域的中心点去掉后，称此邻域为点的去心邻域，记作，即＝．有时把开区间称为的左邻域，把开区间称为的右邻域．三、函数的概念我们在研究某一实际问题或自然现象的过程中，总会发现问题中的变量并不是独立变化的，变量之间往往存在着依存关系．下面我们考察两个例子：●●例1 球的体积随半径的改变而变化，它们的关系为，.●●例2 自由落体运动中，物体下落的距离和时间都是变量，它们有如下关系： .从以上的例子我们看到，它们所描述的问题虽各不相同，但却有共同的特征：（1）每个问题中都有两个变量，它们之间不是彼此孤立的，而是相互联系，相互制约的；（2）当一个变量在它的变化范围中任意取定一值时，另一个变量按一定法则就有一个确定的值与这一事先取定的值相对应．具有这两个特征的变量之间的依存关系，我们称为函数关系．设两个变量和，当变量在某给定的数集中任意取一个值时，变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，.其中称为自变量，称为因变量，数集称为这个函数的定义域．当自变量取值时，与对应的变量的数值称为函数在点处的函数值，即.函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作或，即.例1、例2的值域分别为：，.若对任意，按照一定的法则只有一个值与之对应，则称函数为单值函数，否则，称函数为多值函数.如函数为单值函数，函数为多值函数.值得注意的是，记号和的含义是有区别的：前者表示自变量与因变量之间的对应法则，而后者表示与自变量对应的函数值，但习惯上常用记号“”或“”来表示定义在上的函数.除了常用记号表示函数外，还可以用“”、“”、“”等英文字母或希腊字母来表示函数.从定义可知，函数有两个要素：定义域及对应法则.如果两个函数的定义域和对应法则都相同，则为同一函数，否则，就是不同的函数.例如，函数与是同一函数；函数与不是同一函数. 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是在实际问题中，根据实际意义确定.例如，在球的体积与半径的函数关系中，定义域为，因为≤时不再有实际意义.另一种是对抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合.例如，函数的定义域为，函数的定义域为，这种定义域称为函数的自然定义域.函数的表示方法主要有3种：解析法（公式法）、图形法、表格法.点集称为函数的图形，如图1-3所示．常见的函数有我们中学数学里学过的常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等.下面再举几个函数的例子：●●例3 符号函数其中,定义域,值域，它的图形如图1-4所示.对于任何实数，下列关系成立：. ●●例4 取整函数.设为任一实数，不超过的最大整数称为的整数部分，记作.例如, ,,,.函数称为取整函数,其图形如图15所示.如例3所示，有时一个函数需要用几个式子表示．这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.●●例5 函数是一个分段函数.它的定义域.当时，对应的解析式为；当时，对应的解析式为；当时，对应的解析式为.例如，，则.在自然科学和工程技术中，我们经常会遇到分段函数的情形. 四、函数的几种特性1．函数的单调性 设函数的定义域为，区间．如果对于上任意两点及，当时，恒有不等式成立, 则称函数在区间上是单调增加的（图16）；反之，如果对于区间上任意两点及，当时，恒有不等式成立，那么就称函数在区间上是单调减少的(图17).单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，区间称为单调区间. 例如，函数在区间上是单调增加的．函数在区间上是单调减少的，而在整个定义域上不是单调的.2．函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，即如果对于任意，则有.若等式恒成立，则称为奇函数.若等式恒成立，则称为偶函数.例如，函数是奇函数，因为．是偶函数，因为，而既非奇函数，也非偶函数.奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于轴对称．分别如图18、图19所示．图1-9图1-83．函数的有界性 设函数的定义域为，数集.如果存在正数，使得对任意，都有成立，则称函数在数集上有界.如果这样的不存在，就称函数在上无界；换句话说，如果对于任何正数，总可以在上找到一点，使得，那么函数在上无界．对于函数，如果存在常数，使得对任意，都有成立，则称在上有上界，而称为函数在上的一个上界．如果存在常数，使得对任意，都有成立，则称在上有下界，而称为函数在上的一个下界.例如，对于函数在区间上，因为，所以函数在区间上是有界的．这里（当然也可以取大于的任何数作为而使不等式≤成立）．同理，就函数在区间上，因为≤≤，则是它的一个上界，这里，是它的一个下界，这里（当然，大于的任何数也是函数的上界，小于的任何数也是它的下界）.有些函数只有上界但没有下界，如函数在开区间内，0就是它的一个上界；有些函数没有上界但有下界，如函数在开区间内，1就是它的一个下界．这两个函数在区间内是无界的，因为不存在这样的正数，使≤对于内的一切都成立．但是函数在区间内是有界的，例如可取而对于一切都有≤1成立．读者容易证明，函数在上有界的充分必要条件是它在上既有上界又有下界．4．函数的周期性设函数的定义域为，如果存在一个不为零的数，使得对于任一有，且恒成立，则称函数为周期函数.数称为函数的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期，用表示.例如，函数的周期.图110表示周期为的一个周期函数．不是所有的周期函数都有最小正周期．下面的例子就属于这种情形．●●例6 狄利克雷（Dirichlet）函数易知这是一个周期函数，任何有理数都是它的周期．由于不存在最小的正有理数，则该函数没有最小正周期．五、反函数与复合函数设函数的定义域为, 值域为，如果对于中的任意，内存在唯一一个数值与对应，这个数值适合关系, 从而得到一个以为自变量, 为因变量的函数，我们称这函数为的反函数，记为 或.由此可知，如果是函数的反函数，那么也就是函数的反函数.我们就说函数与函数互为反函数．例如，函数与函数互为反函数.一般地，的反函数记成．在定义域上，若函数是单调函数，则其反函数必定存在，而且易证也是上的单调函数．事实上，不妨设在上是单调减少的，下证在上也是单调减少的．图1-11任取且，依定义，对于，在内存在唯一的，使得，于是；对于，在内存在唯一的，使得，于是．如果，则由的单调减少，必有；如果，则显然有．这两种情形都与假设不符，则必有，即．综上证明了反函数在上也是单调减少的．相对于反函数，原来的函数称为直接函数．将反函数与它的直接函数的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线是对称的（图111）.在实际问题中，我们常常遇到一个函数还跟另一个函数发生联系．如由函数和函数,可得函数．设函数的定义域为, 函数的定义域为, 值域为，而且满足，则对中任一，有确定的属于与之对应，由于，属于，因而有确定的值与值对应．这样对中任意，通过变量有确定的数值与之对应，从而得到一个以为自变量, 为因变量的函数，此函数称为由函数及复合而成的复合函数，记作，，其中变量称为中间变量．由定义可知，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的．例如，不能由函数，复合成，这是因为对任一，，不在函数的定义域内．另外，复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成．如函数是由，，，复合而成，这里都是中间变量．六、初等函数初等函数是最常见的一类函数，它也是高等数学最主要的研究对象．下列几类函数是我们在初等数学中讨论过的，现将其汇列如下：常数函数： （其中为任意实常数）.幂函数：（其中为任意实常数）.指数函数：，在今后的学习中，用得最多的是指数函数，其中为常数，它是一个无理数，它的值是对数函数：．特别当时，这种对数函数称为自然对数函数，记作.三角函数： 如，，，，，等.反三角函数：由于三角函数是周期函数，所以它们在各自的自然定义域上不是一一对应的，因此不存在反函数.若将三角函数的定义域限制在某一个单调区间上，这样的三角函数就存在反函数，称为反三角函数．定义域限制在单调区间上的正弦函数的反函数称为反正弦函数，记为．即,．同理可定义反余弦函数、反正切函数、反余切函数等．函数的定义域为，值域为，它是奇的增函数；函数的定义域为，值域为，它是减函数；函数的定义域为，值域为，它是奇的增函数；函数的定义域为，值域为，它是减函数．符号可以理解为区间上的一个角度或弧度，也可理解为上的一个实数．同理可这样理解符号，，．函数即，．函数即，．同样可得，函数，即,；函数，即,．这些关系是解反三角函数问题的主要依据．我们将一些恒等式罗列如下，请读者自行证明：； ；； ；； ；； 。