高考中的“线性规划”试题.doc

高考中的“线性规划”试题简单线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势简单线性规划正在成为一个高考热点认真分析研究近几年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下四个类型一．类型一：由不等式组画其表示的平面区域，或进一步求区域面积，或已知区域求约束条件等例题：（05年浙江高考试题）设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由三角形的边长性质得得其表示的平面区域不含边界的阴影部分为A选项方法总结：（1）在平面直角坐标系中，平面内所有点被直线Ax+By+C=0分成三类：①在直线Ax+By+C=0上的点②在直线Ax+By+C=0一侧区域内的点③在直线Ax+By+C=0另一侧区域内的点（2）画平面区域的常用方法：先画边界直线，再代点检验看边界线那一侧满足不等式（3）不等式组表示的平面区域是指各个不等式表示的平面区域的公共部分对应练习题：a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 O 阿 O 阿 O 阿 O 阿 (A)(B)(C)(D)1. （2003江苏卷）如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区域（不包含边界）为（ ）2.（05年重庆高考）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）2【解析】原不等式化为或，所表示的平面区域如右图所示，，， ∴，故选B．【点拨】分类讨论，通过画出区域，计算面积．3.（06浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（A） （B）4 （C） （D）2【解析】由题知可画出可行域为（如上图），，故选择B。

点评：本题考查简单的线性规划的可行域（三角形）的面积，同时切记做线性规划的题目时，最关键的是不等号的处理，应考虑要求的区域是在直线的上方还是下方4.（06辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ ）(A) (B) (C) (D)【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有点评】本题考查了双曲线的渐近线方程以及线性规划问题5.（07江苏）在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（ ）A． B． C． D．解析：令区域是等腰直角三角形，面积 选B习题参考答案：1. C 2.B 3. B 4.A（逆向灵活考察即知区域求对应的不等式组）5. B二．类型二：求线性目标函数的最值或取值范围例题：（06广东）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）A. B. C. D.解：由交点为，(1)当时可行域是四边形OABC，此时，(2)当时可行域是△OA此时，故选D.方法总结：求最优解的常用方法有两种（1）将目标函数的直线平行移动，在可行域内最先通过或最后通过的顶点便是最优解（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断。

若围成可行域的直线的斜率分别为，且目标函数的斜率为K，则当时，直线与的交点一般是最优解对应练习题：1.（04全国Ⅲ）设满足约束条件：则的最大值是 .2. [04全国Ⅱ]设满足约束条件： 则的最大值是 . 3.（06福建文）已知实数、满足则的最大值是＿＿＿＿解析：已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 的最大值是4.4.（06沪文）实数满足，则的最大值是_____.解析：画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则的最大值是0.5. (05山东）设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是 .[思路] 本题考查平面区域的划分，在约束条件下目标函数的应用.如图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围.可知，在(2, 3) 点目标函数取得最大值.6. （06全I）设，式中变量满足下列条件则z的最大值为 [思路]在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(3，7)，B(0，1)，C(7，1)，在△ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.线形规划的题目，最关键的是不等号的处理：“是在直线的上方还是下方？”。

7.（07重庆理12）已知x,y满足， 则函数z = x+3y的最大值是_____.【分析】：画出可行域，当直线过点（1，2）时， 8.（06津）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为 A．　　 B．　　 C．　　 D．解析：在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B.9.（05湖南）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z＝x－y的取值范围是（　 　）A、[－2，－1]　　B、[－2，1]　 C、[－1，2] D、[1，2][解析]：由线性约束条件画出可行域，救出三个角点分别为（0，1），（2，1）（2，0）代入目标函数救出z=x-y的取值范围为[-1，2] [答案]：C[评述]：本题考查了性规划中最优解问题，“由角点法”可求得目标函数的取值范围10.（04广东）变量x、y满足条件： 则使z=3x+2y值最小的（x，y）是 A． ( 4.5 ,3 ) B． ( 3,6 ) C． ( 9, 2 ) D． ( 6, 4 )【解析】作为选择题用代入检验法，比较可得B11.（07津理）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 A.4 B.11 C.12 D.14【答案】B【分析】易判断公共区域为三角形区域，求三个顶点坐标为、、，将代入得到最大值为故选B。

习题参考答案：1. 2 . 2. 5 3. 4 4. 0 . 5. .6.11 B 7.7 8-11. BCBB三．类型三：与简单线性规划问题有关的最值问题（1）第一种情况：求可行域上一点与可行域外一固定点的距离问题例题：（06北京卷）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.解：如图所示 表示线性域内的点到原点的距离， 画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝，B（1，3），OB＝，C（1，1），OC＝所以最短的距离是点到原点的距离为，最长的距离是点到原点的距离为 方法总结： 用两点间的距离公式或点到线的距离公式求可行域外的一定点与可行域内的点的距离问题对应练习题：1. （07山东理14）设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是___.【答案】画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为2. (06湖南）已知则的最小值是 .解：如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.3.（05年浙江九校联考）已知实数x、y满足，则的最小值是 .4.（07全国1理）下面给出的四个点中，到直线的距离为，且位于表示的平面区域内的点是A． B． C． D．解．给出的四个点中，到直线的距离都为，位于表示的平面区域内的点是(－1，－1)，∵ ，选C。

5.已知x、y满足，则r的最小值是（ ）A、 B、2 C、3 D、 6.(07徽)若点P在平面区域上,点Q在曲线则最小值为 (A) (B) (C) (D)解析：点P在平面区域上,画出可行域，点Q在曲线最小值圆上的点到直线的距离，即圆心(0，－2)到直线的距离减去半径1，得，选A习题参考答案：1. 2. 5 . 3. -4 . 4-6.CDA（2）第二种情况：转化为两点求斜率的大小问题 例题：（05年江西高考）设实数x、y满足 ，则的最大值是 .解：表示即原点与可行域内的点连线的斜率，画出可行域就知道可行域内的点与原点连线的斜率最大，所以的最大值是.对应练习题： （07辽宁文理8）已知变量满足约束条件则的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，选A四、类型四：求参数的取值范围例题：（06重庆卷）已知变量，满足约束条件。

若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 解：由约束条件画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的范围为(1，+∞)方法总结：关键在懂得求最优解的基础上，要密切注意在那里取到最优解，并弄清楚线性目标函数与边界线的斜率应该满足什么关系其中当目标函数与边界线重合时可以有无穷多个最优解）对应练习题：1.（06湖北）已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 A. B. C. D. 4解：由、、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故当时，，只有一个点为最小值，不合题意当时，由得，它表示的直线的斜率为1）若，则要使取得最小值，必须使最小，此时需，即；（2）若，则要使取得最小值，必须使最大，此时需直线过点A，最优解不是无数多个，矛盾.综上可知，1.点评：本题主要考查同学们运用线性规划的基础知识与分类讨论的数学思想综合解决问题的能力.2.（07北京文6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则范围是Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或解析：如图，不等式组表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是 (2，7)，用平行于x轴的直线y≥a截梯形得到三角形，则的取值范围是，选C。

3.（07北京理6）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则范围是（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或解析：，将前三个不等式画出可行域，三个顶点分别为(0，0)，(1，0)，(，)，第四个不等式，表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当0