高考函数专题：函数周期性与对称性.doc

函数周期性与对称性一、函数周期：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 例如：求的周期 1. 常见函数周期:①y=sinx，最小正周期T＝2π； ②y=cosx，最小正周期T＝2π； ③y=tanx，最小正周期T＝π； ④y=cotx，最小正周期T＝π.周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为T/|ω|.2.几种特殊的抽象函数的周期：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,① ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数.⑥，则是以为周期的周期函数.⑦，则是以为周期的周期函数.⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；（二）主要方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： 函数关于对称即偶函数： 函数关于直线 对称：或或 者 函数关于点对称：1．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2； B．3； C．4； D．5 （ ）2．设函数为奇函数，则（ ） A．0 B．1 C． D．53．已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A、2005 B、2 C、1 D、04． 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)； (B)；(C)； (D)5．设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于A. B. C. D.6.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A．–2 B．–1 C．0 D．17.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 高考资源网 A.0 B. C.1 D. 8.若是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，，则＝ ．9.定义域为R，且对任意都有，若则=_10．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。

11：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当00,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即　f(x2)

问题3．（福建）定义在上的函数满足，当时，，则 ； ； （天津文） 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 问题4．定义在上的函数，对任意，有，且，求证：；判断的奇偶性；若存在非零常数,使，①证明对任意都有成立；②函数是不是周期函数，为什么？问题5．（全国）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意的，都有.设，求、；证明：是周期函数.记，求.（四）巩固练习： （北京春）若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为 设函数（）是以为周期的奇函数，且，则 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上是减函数，那么在上是增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数设，记，则 （五）课后作业： 已知函数是以为周期的周期函数，且当时，，则的值为 设偶函数对任意，都有，且当时，，则 设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当≤时，，则 已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.求时，的表达式；证明是上的奇函数．（朝阳模拟）已知函数的图象关于点对称，且满足，又，，求…的值（六）走向高考： （福建）是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解的个数的最小值是 （安徽）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 (全国)已知函数为上的奇函数，且满足，当时，，则等于( ) （安徽）函数对于任意实数满足条件，若，则 (福建文）已知是周期为的奇函数，当时，设则 　　　　　　　　（天津）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （天津）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 （广东）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。