高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数在函数中的应用课件 理.ppt

第14讲导数在函数中的应用1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，则(1)若 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f′(x)<0，则 f(x)在(a，b)内__________．2．函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，单调递减①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0,右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极大值；②如果在 x0 附近的左侧__________，右侧__________，那么 f(x0)是极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)求可导函数极值的步骤：①求 f′(x)；②求方程 f′(x)＝0 的根；③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得__________；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．极小值3．函数的最值(1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)①若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；②若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数 y＝f(x)的各________与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值1．f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是()CA．－2B．0C．2D．42．(2013 年广州二模)已知e为自然对数的底数，函数 y＝)xex 的单调递增区间是(A．[－1，＋∞)C．[1，＋∞) B．(－∞，－1]D．(－∞，1]A3．(2013 年河南郑州模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图 2-14-1，则函数 f(x)在(a，b)内的极大值点有() 图 2-14-1A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值．B2考点 1 函数的单调性与极值(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．解得 x＝－1(舍)或 x＝5.当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减；当 x∈(5，＋∞)时， f′(x)>0，函数 f(x)单调递增．因此，函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值，且极小值为 f(5)＝－ln5.【规律方法】(1)求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开. (2)“f′(x)>0[或 f′(x)<0]”是“函数 f(x)在某区间上为增函数(或减函数)”的充分不必要条件；“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0 处取得极值”的必要不充分条件.【互动探究】1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数存在，若命题 p：f′(x0)＝0，命题 q：x＝x0 是 f(x)的极值点，则 p 是 q 的()CA．充分必要条件C．必要不充分条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若 x＝x0 是 f(x)的极值点，则f′(x0)＝0；若f′(x0)＝0，而 x＝x0 不一定是 f(x)的极值点，如 f(x)＝x3，当 x＝0 时，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．故 p 是 q 的必要不充分条件．故选 C.考点 2 函数的最值(1)若 f(x)在 x＝2 处的切线与直线 3x－2y＋1＝0 平行，求f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间[1，e]上的最小值．x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)—0＋f(x)↘12↗令 f′(x)＝0，得 x＝1.f(x)与 f′(x)的情况如下表：所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．【规律方法】求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要对函数 y＝f(x)的各极值与端点值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【互动探究】x252(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋考点 3 利用导数解决函数中的恒成立问题(1)若 a＝3，试确定函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在其图象上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率都小于2a2，求实数 a 的取值范围．由 f′(x)<0，解得 x<－1 或 x>3.所以函数 f(x)的单调递增区间为(－1,3)，单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)因为 f′(x)＝－x2＋2x＋a，由题意，得 f′(x)＝－x2＋2x＋a<2a2 对任意 x∈R 恒成立，即－x2＋2x<2a2－a 对任意 x∈R 恒成立，设 g(x)＝－x2＋2x，所以 g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.所以当 x＝1 时，g(x)有最大值为 1.因为对任意 x∈R，－x2＋2x<2a2－a 恒成立，【规律方法】若 f(x)在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2，即 f′(x)＝－x2＋2x＋a<2a2 对任意 x∈R 恒成立，分离变量得－x2＋2x<2a2－a 对任意 x∈R 恒成立，求－x2＋2x 的最大值即可.【互动探究】3．函数 f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a≠0.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(1)≥e－1，求使 f(x)≤e2 对 x∈[1，e]恒成立的实数 a的值(注：e 为自然对数的底数)．(2)由 f(1)＝a－1≥e－1，即 a≥e.由(1)知，f(x)在[1，e]内单调递增，要使 f(x)≤e2 对 x∈[1，e]恒成立，只要 f(e)≤e2，则 a2lne－e2＋ae≤e2，即 a2＋ae－2e2≤0，(a＋2e)(a－e)≤0，解得 a≤e，所以 a＝e.●思想与方法●⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2013 年广东东莞一模) 已知函数 f(x) ＝x2 ＋ax ＋blnx(x>0，实数 a，b 为常数)．(1)若 a＝1，b＝－1，求函数 f(x)的极值；(2)若 a＋b＝－2，讨论函数 f(x)的单调性．。