2022年全国高考数学试题分类汇编直线与圆锥曲线的位置关系.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系3.〔2022 北京,20,14 分〕已知椭圆 C:x2+3y2=3.过点 D〔1,0〕且不过点 E〔2,1〕的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.〔1〕求椭圆 C 的离心率 ; 〔2〕如 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率 ; 〔3〕试判定直线 BM 与直线 DE 的位置关系 ,并说明理由 .解析〔1〕椭圆 C 的标准方程为+y2=1.所以 a=,b=1,c=.所以椭圆 C 的离心率 e= =.〔2〕由于 AB 过点 D〔1,0〕且垂直于 x 轴,所以可设 A〔1,y 1〕,B〔1,-y 1〕.直线 AE 的方程为 y-1=〔1-y 1〕〔x-2〕. 令 x=3,得 M〔3,2-y 1〕.所以直线 BM 的斜率 kBM =--=1.〔3〕直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下 :当直线 AB 的斜率不存在时 ,由〔2〕可知 kBM=1.又由于直线 DE 的斜率 kDE=--=1,所以 BM ∥DE.当直线 AB 的斜率存在时 ,设其方程为 y=k〔x-1〕〔k ≠1〕.名师归纳总结 设 A〔x 1,y1〕,B〔x 2,y2〕,就直线 AE 的方程为 y-1=--〔x-2〕.第 1 页,共 5 页令 x=3,得点 M--.由-得〔1+3k2〕x2-6k2x+3k2-3=0.所以 x1+x2=,x1x2=- .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 BM 的斜率 kBM=---.-由于 kBM-1=------ --------=---=---=0, 所以 kBM=1=kDE.所以 BM ∥DE.综上可知 ,直线 BM 与直线 DE 平行.4.〔2022 福建,19,12 分〕已知点 F 为抛物线 E:y 2=2px〔p>0〕的焦点 ,点 A〔2,m〕 在抛物 线 E 上,且|AF|=3.〔1〕求抛物线 E 的方程 ; 〔2〕已知点 G〔-1,0〕,延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆 ,必与直线 GB 相切 . 解析 〔1〕由抛物线的定义得 |AF|=2+ . 由于 |AF|=3,即 2+ =3,解得 p=2,名师归纳总结 所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 〔2〕解法一 :由于点 A〔2,m〕 在抛物线 E:y 2=4x 上,所以 m=± 2 ,由抛物线的对称性 ,不妨设 A〔2,2 〕.由 A〔2,2 〕,F〔1,0〕可得直线 AF 的方程为 y=2 〔x-1〕.由 - 得 2x 2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= ,从而 B - .又 G〔-1,0〕,所以 kGA=-- -=,kGB=- -- -=-,所以 kGA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这说明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等 ,故以 F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切 .解法二 :设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.名师归纳总结 由于点 A〔2,m〕在抛物线 E:y2=4x 上,〕.第 3 页,共 5 页所以 m=± 2,由抛物线的对称性 ,不妨设 A〔2,2由 A〔2,2〕,F〔1,0〕可得直线 AF 的方程为 y=2〔x-1〕.由-得 2x 2-5x+2=0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 x=2 或 x= ,从而 B-.又 G〔-1,0〕,故直线 GA 的方程为 2x-3y+2=0,+=1〔a>b>0〕从而 r==.又直线 GB 的方程为 2x+3y+2=0,所以点 F 到直线 GB 的距离 d===r.这说明以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切 .5.〔2022 湖南,20,13 分〕已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:的一个焦点 ,C1 与 C2 的公共弦的长为 2.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点 ,与 C2相交于 C,D 两点 ,且与同向 .〔1〕求 C2 的方程 ;〔2〕如|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率 .解析〔1〕由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为 〔0,1〕.由于 F 也是椭圆 C2 的一个焦点 ,所以 a 2-b 2=1.①又 C1与 C2 的公共弦的长为 2,C1 与 C2都关于 y 轴对称 ,且 C1 的方程为 x 2=4y,由此易知 C1与 C2 的公共点的坐标为+,所以+=1.②联立 ①,②得 a 2=9,b 2=8.故 C2 的方程为=1.〔2〕如图,设 A〔x 1,y1〕,B〔x 2,y2〕,C〔x 3,y3〕,D〔x 4,y4〕.因与同向 ,且|AC|=|BD|,所以=,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是〔x1+x2〕 2-4x1x2=〔x3+x4〕 2-4x3x4.③设直线 l 的斜率为 k,就 l 的方程为 y=kx+1.名师归纳总结 由得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2 是这个方程的两根 ,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由得〔9+8k2〕x2+16kx-64=0.而 x3,x4 是这个方程的两根 ,名师归纳总结 所以 x3+x4=-,x3x4=-.⑤.第 5 页,共 5 页将④,⑤代入③,得 16〔k2+1〕=+,即 16〔k 2+1〕=,,即直线 l 的斜率为 ±所以 〔9+8k2〕 2=16×9,解得 k=±- - - - - - -。