4.山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷.docx

山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°2．椭圆的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．3．圆的圆心坐标为（    ）A． B． C． D．4．已知，且，则实数（    ）A． B．5 C． D．15．直线与直线之间的距离是（    ）A． B．1 C． D．26．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定7．如图，正方体的棱长为2，是的中点，则点到直线的距离为（    ）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ）A． B．圆与圆相交C．直线的方程为 D．直线l的方程为10．已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为 B．椭圆的离心率C．面积的最大值为 D．的最大值为11．已知直线，则下列说法正确的是（    ）A．直线与相交于点B．直线和轴围成的三角形的面积为C．直线关于原点O对称的直线方程为D．直线关于直线对称的直线方程为12．已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为B．的最大值为C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为三、填空题13．直线在轴上的截距为 ．14．已知，则向量与的夹角为 ．15．已知点是直线上的动点，点段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ．16．已知椭圆的左，右顶点分别为，动点P在C上（异于点），点Q是弦的中点，则的最大值为 ．四、解答题17．已知的三个顶点，分别是的中点．(1)求直线的一般式方程；(2)求边的垂直平分线的斜截式方程．18．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．  (1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：．19．已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点．(1)求圆的一般方程；(2)求圆与圆的公共弦的长．20．已知椭圆的离心率是，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．21．如图，在几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别是，的中点，，平面ABC，．(1)若，求证：平面；(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求直线DE与平面所成角的正弦值．试卷第5页，共5页参考答案：1．C2．A3．D4．A5．C6．A7．D8．B9．BD10．AD11．AC12．ACD13．14．15．（）16．/17．(1)(2)【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程.（2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程.【解析】（1）由于分别是的中点，所以，所以，直线的方程为，即.（2），所以边的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线的斜截式方程为.  18．(1)(2)证明详见解析【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案.（2）通过证明来证得结论成立.【解析】（1）连接，则（2），所以，所以.  19．(1)(2)【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程.（2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.【解析】（1）设，由得，解得，则，，所以圆的标准方程为，半径为，所以圆的一般方程为.（2）圆即，圆心为，半径为，两点的距离为，而，所以两圆相交，由、，两式相减并化简得，到直线的距离为，所以公共弦长为.20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．【解析】（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点，画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，由消去并化简得，，设，则，而，所以直线的方程为，令，解得，同理可求得，则，所以线段的中点为定点.  21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AC的中点O，连接OD，易证OD⊥平面ABC，然后以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；（2）设，则，易知是平面ABC的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得a，再利用线面角公式求解.【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接OD，∵D是的中点，∴，∵平面ABC，∴平面ABC，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，平面，故平面；（2）设，则，显然是平面ABC的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，∴，取，则，，∴，∴，∴或，①当时，，∴，，∴，∴直线DE与平面所成角的正弦值为；②当时，，∴，，∴，∴直线DE与平面所成角的正弦值为．答案第5页，共6页。