【精编卷】2022届湖南省名校联合体高三上学期12月联考数学试题（解析版）.doc

2022届湖南省名校联合体高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】计算得到集合的等价集合，然后求交集即可.【详解】，，又，．故选：B2．若复数（i为虚数单位）则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对复数化简，然后再求复数的模【详解】由题意可知：，则．故选：C3．已知向量，若，则（       ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据求得，由此求得，进而求得.【详解】由题意可得，解得，所以，因此．故选：D4．已知，则（       ）A． B．1 C． D．5【答案】D【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答详解】由题意，则．故选：D﹒5．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（       ）A．302.7 B．405.4 C．530.7 D．1061.4【答案】C【分析】结合已知条件，利用勾股定理列方程，化简求得的长度.【详解】设，，，由已知得，又由勾股定理，故，即，因此可求得，则．故选：C6．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C、D项，，所以排除B项．故选：A7．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（       ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率【详解】依题意，抛物线准线，由抛物线定义知，解得，则准线，双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，则面积，双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得．故选：C8．在等比数列中，，则（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】结合等比数列的性质来求得正确答案.【详解】，∵等比数列中，而，∴．故选：A二、多选题9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（       ）A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项【答案】AB【分析】二项式展开式共8项，则n＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒【详解】二项式的展开式中共有8项，则，选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；选项D：二项式的展开式的通项为，当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．故选：AB﹒10．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是（       ）A．的最大值为1B．函数的单调递增区间为C．是函数的一条对称轴D．是函数的一个对称中心【答案】BC【分析】根据三角函数图象变换求得，结合函数的最值、单调性、对称性对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】，将画数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度得，选项A：的最大值为3，故A错误；选项B：令，故．故函数的单调递增区间为，故B正确；选项C：因为，所以是函数的一条对称轴，故C正确；选项D：因为，所以不是函数的一个对称中心，故D错误．故选：BC11．已知圆和直线，则（       ）A．直线l与圆C的位置关系无法判定B．当时，圆C上的点到直线l的最远距离为C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，D．如果直线l与圆C相交于M、N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆【答案】BCD【分析】对于A，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可，对于B，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可，对于C，由题意可得只要圆心到直线l距离为1即可，对于D，设MN的中点为P，由垂径定理知，从而可得结论【详解】由，得，所以圆心，半径为2，选项A：由直线l的方程可得，，则直线l恒过定点，此点在圆C内，故直线l与圆C相交．故A错误．选项B：时，直线l的方程为，即．设圆心到直线l距离为d，则，所以圆C上的点到直线l的最远距离为．故B正确．选项C：当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心到直线l距离为1，由，得．故C正确．选项D：直线l恒过定点，设MN的中点为P，由垂径定理知，故点P的轨迹是以为直径的圆，故D正确．故选：BCD12．已知图1中，正方形的边长为，A、B、C、D是各边的中点，分别沿着、、、把、、、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则（       ）A．平面平面B．直线与直线所成的角为C．多面体的体积为D．直线与平面所成角的正切值为【答案】BD【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法、割补法对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】取的中点O、M，连接，如图，∵A、B、C、D是正方形各边的中点，则，∵O为的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，四边形是边长为2的正方形，∵O、M分别为的中点，则且，且，所以四边形为矩形，所以，以点O为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则．选项A，设平面的一个法向量为，由,取，则，则．设平面的一个法向量为，由，取，可得，则．，所以，平面与平面不垂直，故A错误；选项B，，直线与所成的角为，故B正确；选项C，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则E、F、G、H分别为的中点，因为，长方体的体积为，，因此，多面体的体积为，故C错误；选项D，，设直线与平面所成角为，则，所以，，故D正确．故选：BD三、填空题13．已知为奇函数，当时，，则_________.【答案】【解析】求出的值，利用奇函数的定义可求得的值.【详解】因为为奇函数，当时，，，因此，.故答案为：.14．从下图12个点中任取三个点则所取的三个点能构成三角形的概率为________．【答案】【分析】先求出从12个点中任取3个点的取法，再求出三点共线的情况，从而可求出三个点能构成三角形的概率【详解】从12个点中任取三个点，有种取法，由图示得三个点在一条直线上的情况有，所以所取的三个点能构成三角形的概率为．故答案为：15．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是__________．【答案】6【分析】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则，由截面圆的周长为，得，∴，球的半径是．故答案为：6四、双空题16．已知（1）函数的零点个数为________个；（2）若的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为_______．【答案】     1     【分析】由直接求解函数的零点即可，由题意可得在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增，要使与x轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，画出函数的图象，根据图象求解即可【详解】（1）因为，所以零点个数为1；（2）由题设，当时，，故值域为且单调递增；当时，，故值域为且单调递减；∴在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增；要使与x轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，它们的图象如图所示，由图知：要使函数图象有3个交，则与在上有2个交点，当时，设，则，此时，若与相切，设切点为，∴可得，当过点时，有，得，∴．故答案为：1，五、解答题17．已知是等差数列，其前项和为．若．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）、利用等差数列通项公式及前项和求出公差，即可求出的通项公式；（2）、先求数列的通项公式，再利用分组求和法求解.(1)设等差数列的公差为．，，，又，，．的通项公式为.(2)由（1）可知，，，，，．18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（其中S为的面积）．(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，且，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知条件可得，则可得，从而可求出角B，（2）由角B的大小和三角形是锐角三角形可求出，再由正弦定理结三角函数恒等变换公式可得，再结正切函数的性质可得结果(1)依题意，则，又因为，所以，则．(2)由为锐角三角形及，得，∴，由正弦定理得，∴．∵，∴，∴，∴，即所求a的取值范围是．19．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．(1)求乙能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，﹒【分析】(1)乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试；(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，依次计算出概率即可列出分布列﹒(1)若乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，故乙能参与面试的概率．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，．则X的分布列为X012345P故．20．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且底面，点分别在棱、上·(1)若P是的中点，证明：；(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.。