【题型突破-导数-数列】第6讲 利用导数研究不等式能成立-高考数学二轮复习（全国通用）(教师版).docx

导数专题 引子:我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天道理我都懂，可再多的道理也无济于事道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何…… 第六讲 利用导数研究不等式能成立脑洞(常用方法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶思维导图-----典型题型讲练考点一：分离变量法思维导图-----方法梳理分离参数法用分离参数法解含参不等式能成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）；；（2）单调递增区间为，的单调递减区间为；（3）【详解】（1）由题意知，因此，从而．由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，从而．解得．所以的取值范围为.例2．已知函数在点处的切线为．（1）求函数的解析式：（2）若存在实数，使得在x时成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）由题意知：的定义域为，∵∴，解得;故．（2）令，，∴，故在时，单调递增，．要存在实数m，使得在时成立，只要即可，解得：．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）∵，由，得且，解得，，又，∴，∴；（2）存在，使得，等价于，∵，当时，，当时，，∴在上递减，在上递增，又，，∴在上的最大值为，∴，解得，所以的取值范围是．2．已知.（1）求的单调区间；（2）若存在使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的递减区间为，递增区间为；（2）.【详解】解：（1）∵，∴;∴. 则当，即时，；当，即时，，∴的递减区间为，递增区间为.（2）若存在使成立，则，由（1）可知.∴.围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2022·河南焦作·二模（文））已知使得不等式成立,则实数的取值范围（      ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：使得不等式成立.令则.而，，所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，因为，所以，故实数a的取值范围为.故选：A【点睛】恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，即，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，记，，，，，，时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，.故选：A.例3．已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【详解】（1）．当时，，∴在上单调递增；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．∵当时，，∴有解，令，，则．∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数的取值范围．例4．（2022·福建龙岩·高二期末）设函数，，若曲线在点处的切线方程为(1)求，的值：(2)若关于的不等式只有唯一实数解，求实数的值.【答案】(1);(2)【详解】（1）由题意得，所以，又，解得.（2）由（1）可得，，令，解得，当时，，则为增函数，当时，，则为减函数，所以则只有唯一实数解，整理可得，令，则因为，所以恒成立，令，解得，当时，，则为减函数，当时，，则为增函数，所以，因为只有唯一实数解使得成立，所以.所以关于x的不等式只有唯一实数解，实数m的值为.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意：，令，则，令，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B.2．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值;(2)(1)解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；(2)解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.3．（2022·江苏省天一中学高二期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值;(2)【详解】(1)当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.(2)因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)1；(2).【详解】(1)当时，则，令f'x=0，得．时f'x>0，函数的单调递增区间为，时f'x<0，函数的单调递减区间为；所以函数的极小值为.(2)由题设，在上，设，则，显然当时g'x>0恒成立，所以在单调递增，则，综上，，故．考点二：等价转化法分类讨论思维导图-----方法梳理等价转化法分类讨论法(1).当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，如果无法分离参数,一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.(2) 接下来求新函数F(x)或H(x)的最值,转化为前面所学的含参单调性讨论最值问题,进而讨论参数,求出最值围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)【详解】(1)已知函数，定义域为，，①当时，，x+0-0+递增极大值递减极小值递增在上单调递增，在上单调递减；②当时，f'(x)=4x−122x≥0，函数在单调递增；③当时，，x+0-0+递增极大值递减极小值递增在上单调递增，在上单调递减.综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.(2)若存在，使得成立，即使得.由（1），可知当时，在上单调递增，，不满足；当时，x-0+递减极小值递增，所以，即，令，∴，∴在上单调递减，又∵，由，得.综上，实数a的取值范围为.例2．（2022·福建福州·高二期末）已知函数(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】(1)当时，,定义域为R，.所以，.所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，即.(2)不等式可化为：，即存在，使得不等式成立.构造函数，则.①当m≤1时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.综上所述：m的取值范围为：.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.【详解】（1）函数，定义域为，，当时，令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减； 函数的极小值为，函数的极大值为.（2）令，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.由得：，，，又，，当时，；当时，，①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，，，，此时不成立，②当，即时，在上单调递减，；由可得：，，；综上所述：实数的取值范围为.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·山西大附中高二阶段练习）已知函数．(1)若，求函数y＝f（x）的单调区间；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)在单调递增，在单调递减;(2)【详解】(1)当a＝3时，f（x）＝3lnx﹣x，则，且定义域为 由；f(x)在单调递增，在单调递减；(2)由题意，，等价于，在上能成立令，，则g（x）在上的最小值小于0，则，①当1+a≥1，即a≥0时，g（x）在上单调递减，所以函数g（x）在上的最小值为g（1）＝1+a+1＝a+2＜0，故a＜﹣2，不符合题意，舍去；②当，即a≤1e−1，g（x）在上单调递增，所以函数g（x）在上的最小值为，解得，又a≤1e−1，故，③当，即时，故g（x）在上单调递减，在[1+a，1]上单调递增，所以g（x）在上的最小值为因为，所以﹣1＜ln。