高中数学（人教A版）选修4-5教案第二讲 证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法.doc

一、反证法：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的例1、 若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：（1）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 证：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,则三式相乘： (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a > ①又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾.∴(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于二、放缩法：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。

例4、若a, b, c, dÎR+，求证：证：记m = ∵a, b, c, dÎR+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立例5、当 n > 2 时，求证： 证：∵n > 2 ∴，∴ n > 2时, 例6、求证： 证：∵∴思考：若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？例7、 求证：证：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0,作业补充题1、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于12、设试证明:3、设求证：中至少有一个不小于4、设x > 0, y > 0,, ，求证：a < b5、证明：6、 证明：lg9•lg11 < 17、 证明：若a > b > c, 则教后反思：3。