【教案】 圆的一般方程（教学设计） (人教A版2019选择性 必修第一册.docx

2.4.2 圆的一般方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第四节《圆的方程》以下是本单元的课时安排：第二章 直线和圆的方程课时内容2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养教学主线圆的方程的应用在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。

在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养. 重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题 （一）新知导入《古朗月行》 唐·李白小时不识月，呼作白玉盘又疑瑶台镜，飞在青云端月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的一般方程【思考1】　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？【提示】x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.【思考2】把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？【提示】得到的方程为2＋2＝.当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．◆圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径为 .【做一做1】 (教材P88练习2改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)A．k>1　　　　　　 B．k<1C．k≥1 D．k≤1解析：由题意得(－4)2＋22－4×5k>0，k<1.答案：B【做一做2】 (教材P88练习1改编)已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是(　　)A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9解析：圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.答案：A（三）典型例题1.圆的一般方程的识别例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0；(3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；(4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.【分析】利用圆的一般方程的特点解题．【解析】(1)由于x2，y2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆．(2)由于该二次方程中含有xy项，∴该二元二次方程表示的不是圆．(3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆．又x2＋y2＋x＋2y＋1＝2＋(y＋1)2－＝0，即＋(y＋1)2＝，∴它表示以为圆心，以为半径的圆．(4)法一：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.【类题通法】 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4,根据圆的标准方程来判断.【巩固练习1】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径的取值范围．【解析】(1)方程化为[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1，∴－7m2＋6m＋1＞0，－＜m＜1，∴方程表示圆时m的取值范围为－＜m＜1.(2)r＝＝ ≤，∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤.2.圆的方程的求法例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．【分析】欲求圆的方程可先将圆的方程设出来，将条件代入求得．【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得得∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.【变式探究】　若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得得∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．【解析】圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②由①②可得或又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，所以所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.3.求轨迹方程例3.已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．【分析】只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件．【解析】(1)法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝.kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．法二：同法一得x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点),所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0) ，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠－1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1，因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝|MB|，∴(x－2)2＋y2＝[(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.(2)设点N的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，N为线段AM的中点，∴点M的坐标为(2x－2,2y)．又点M在圆x2＋y2＝16上，∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．（四）操作演练 素养提升1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)A．m<　　　　　　　 B．m<0C．m> D．m≤2.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)A．－1 B．1C．3 D．－33.当点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)A．π B．4πC．8π D．9π答案：1.A 2.B 3.C 4.B 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 。