年高考数学(理)二轮复习(人教a版)函数与方程及函数的实际应用.ppt

必考问题2 函数与方程及 函数的实际应用 •1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零 点所在的一个区间是 •( )． •A．(－2，－1) B．(－1,0) •C．(0,1) D ．(1,2) •2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区 间[0,4]上的零点个数为 •( )． •A．4 B．5 •C．6 D．7 •高考对本部分的考查有： •(1)①确定函数零点； •②确定函数零点的个数； •③根据函数零点的存在情况求参数值 或取值范围． •(2)函数简单 性质的综合考查．函数 的实际应 用问题 ． •(3)函数与导数、数列、不等式等知识 综合考查． •利用函数性质解决相关的最值．题型 既有选择题 、填空题，又有解答题，客 观题 主要考查相应函数的图象和性质， 主观题 考查较为综 合，在考查函数的零 点、方程根的基础上，又注重考查函数 与方程、转化与化归、分类讨论 、数形 结合的思想方法． •1．二次函数图象是连接三个“二次”的 纽带 ，是理解和解决问题 的关键，应认 真研究、熟练掌握． •2．关于零点问题 ，要学会分析转化 ，能够把与之有关的不同形式的问题 ， 化归为 适当方程的零点问题 ． •3．函数模型的实际应 用问题 ，主要 抓好常见函数模型的训练 ，重点放在信 息整理与建模上． 必备知识 方法 •必备知识 •零点存在性定理 •如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续 不断的一条曲线，且有f(a)·f(b) ＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． •注意以下两点： •①满足条件的零点可能不唯一； •②不满足条件时，也可能有零点． •在处理二次函数问题时 ，要注意f(x) 的几种常见表达形式 •(1)y＝ax2＋bx＋c； •(2)y＝a(x－x1)(x－x2)； •(3)y＝a(x－h)2＋k. •应根据题目的特点灵活选用上述表达 式． •必备方法 •1．在求方程解的个数或者根据解的 个数求方程中的字母参数的范围的问题 时，数形结合是基本的解题方法，即把 方程分拆为一个等式，使两端都转化为 我们所熟悉的函数的解析式，然后构造 两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝ g(x)的形式，这时 方程根的个数就是两个 函数图象交点的个数，可以根据图象的 变化趋势 找到方程中字母参数所满足的 各种关系． •2．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， x∈[p，q]的最值问题实际 上是研究函数 在[p，q]上的单调 性．常用方法：(1)注 意是“轴动 区间定”，还是“轴定区间 动”，找出分类的标准；(2)利用导数知 识，最值可以在端点和驻点处寻 找． •3．f(x)≥0在[p，q]上恒成立问题 ，等 价于f(x)min≥0，x∈[p，q]． 热点命题 角度 •常考查：①根据函数解析式判断零点 所在的区间；②根据函数解析式求零点 的个数问题 ．可采用零点判定定理、数 形结合法求解，高考命题有加强的趋势 ，难度中档偏下． 函数零点的判断 • 确定函数零点的常用方法 ： •①解方程判定法，若方程易求解时用 此法； •②零点存在的判定定理法，常常要结 合函数的性质、导数等知识； •③数形结合法，在研究函数零点、方 程的根及图象交点的问题时 ，当从正面 求解难以入手，可以转化为某一易入手 的等价问题 求解，如求解含有绝对值 、 分式、指数、对数、三角式等较复杂的 函数零点问题 ，常转化为熟悉的两个函 数图象的交点问题 求解． •函数思想在高考中并不单独考查，而 往往与导数结合命制压轴 性大题，试题 围绕 二次函数、二次方程及二次不等式 的关系展开，解题的关键是从判别式、 韦达定理、对称轴、开口方向等方面去 考虑结论 成立的所有条件，难度较大． 函数思想的应用 •二次函数问题 通常利用二次方程、二 次不等式之间的关系来处理，从而使方 程问题 函数化，函数问题 方程化，体现 了函数与方程的思想． •【突破训练 2】 已知a是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x) 在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值 范围． •函数综合题的求解往往运用多种知识 和技能．因此，必须全面掌握有关的函 数知识，并且严谨审题 ，弄清题目的已 知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 ．要认真分析，处理好各种关系，把握 问题 的主线，运用相关的知识和方法将 题目逐步化归为 基本问题 来解决． 函数与方程的综合应用 •此题考查了函数的零点、最值、一元 二次方程等基础知识，运用导数研究函 数的性质的方法，体现了函数与方程， 分类与整体的数学思想方法． •该类试题 以实际 生活为背景，通过 巧妙设计 和整合命制，试题 常与函数解 析式的求法、函数最值、不等式、导数 等知识交汇，多以求最值为 高考考向． 这类题 目对学生的阅读 、审题 能力、建 模能力提出了较高的要求． 函数模型及其应用 •(1)写出y的表达式； •(2)设0v≤10,0c≤5，试根据c的不 同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨 量y最少． •[审题视 点]先求E移动时单 位时间 内 的淋雨量(分两部分：一是P或P的平行面 ；二是其他面的淋雨量之和)．再分0＜ v≤c或c＜v≤10两种情况，利用函数的 单调 性求解． •[听课记录 ] • (1)关于解决函数的实 际应 用问题 ，首先要在阅读 上下功夫， 一般情况下，应用题文字叙述比较长 ， 要耐心、细心地审清题意，弄清各量之 间的关系，再建立函数关系式，然后借 助函数的知识求解，解答后再回到实际 问题 中去． •(2)对函数模型求最值的常用方法： 单调 性法、基本不等式法及导数法． 阅卷老师 叮咛 •利用导数来研究函数的零点问题 •利用导数可判断函数图象的变化趋 势及单调 性，而函数的单调 性往往与方 程的解交汇命题．因此，可借助导数这 一工具来研究函数的零点问题 ． •老师叮咛：本题综 合考查了导数法 判断函数的单调 性、最值和函数零点的 判断.第(1)问需对a分类讨论 ，利用 f′(x)的正负与f(x)单调 性的关系求得结 果.第(2)问需要经过 二次求导，原因是 一次求导不能判断其导数的正负，还需 第二次求导，再结合零点存在定理判断 函数在某个区间内零点存在情况. •【试一试】 已知函数f(x)＝x3，g(x)＝ x＋.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数， 并说明理由． 。