新高考数学二轮复习重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点（7题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.doc

重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现主要包含函数零点个数判断与证明主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大题型1 判断函数零点的个数】满分技巧1、判断函数零点个数的常用方法（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题．（2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可．2、处理函数与图像的交点问题的常用方法（1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况；（2）将函数交点问题转化为方程根的个数问题，也通过构造函数，把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）的零点的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由得，构造函数，求导得在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，及时，的图像如图，得到有3个解.故选：D.【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数的图象与直线的交点个数为 .【答案】【解析】令，则，函数在区间上单调递增，所以，曲线与直线的交点个数等于曲线与直线的交点个数，作图易知，曲线和直线都过点，且都关于点对称，所以，曲线与直线的交点个数或者为或者为.下面考察关于的方程在区间上的解的个数，令，其中，则对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，关于的方程在区间上的解的个数为，因此，函数的图象与直线的交点个数为.【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，则存在，使得，画出的图象，如下：令，则，当时，令，解得或，若，则，结合图象可知，此时存在两个根，，若，则，结合图象可知，此时存在和满足要求，当时，令得，此时，结合图象可知，此时存在两个根，综上，共6个零点，故选：C【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）A．4 B．5 C．3或4 D．4或5【答案】D【解析】因为，所以，所以函数的周期为2，当时，，则，由，得，则，即，所以，即函数在上单调递增，又为上的奇函数，所以函数在上单调递增， 由，即，又，为上的奇函数，的周期为2，令，则，即，则，作出函数和在上的大致图象：由图象可知，函数和的交点为4个或5个，则函数在上的零点个数为4个或5个.故选：D.【题型2 讨论证明函数零点的个数】满分技巧证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。

利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数注意：单调性+零点存在=唯一零点【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．（1）求实数a的值；（2）证明：有唯一零点．【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）由易判断在单调递增，且，，所以可令，得， 所以，由题意，即，所以；（2），则，令，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，结合（1）可得存在唯一，使得，即函数有唯一零点.【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数．（1）求曲线在处的切线；（2）若对任意，当时，证明函数存在两个零点．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以，则，，此时切线方程为，即；（2）证明：函数存在两个零点，得方程有两解，即存在两解．令，则，令，因为，所以在上为单调递减函数，由，，所以存在，使得，且，，，，所以在上递增，在上递减．所以，由，且，则任意，时，函数与有两交点，故函数存在两个零点．【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，其中．（1）若的极小值为，求单调增区间；（2）讨论的零点个数．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）由题，得，其中， 当时，，单调递增，无极值； 当时，令，解得或；令，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，， 所以当时，取得极小值，所以，解得．单调增区间和；（2）由（1）知当时，的极小值为，的极大值为，，所以在区间有1个零点，当，即时，因为，，所以在区间各有1个零点，因此有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，易知有一个零点． 综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数．（1）若是的极值点，求；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）；（2）当时，1个；当时，2个；当时，3个；【解析】（1）由已知可得，函数定义域为，且，所以.又是的极值点，所以，解得.代入可得，.设，则在上恒成立，所以单调递增.又，所以，当时，有，即，所以，在上单调递减；当时，有，即，所以，在上单调递增.所以，在处取得极小值，满足题意.所以，.（2）由已知可得，，，且，显然，且.令，则.①当时，恒成立，所以，在上单调递减.又，此时只有一个零点；②当时，，此时有恒成立，所以，，即在上单调递增.显然时，有，则；.且，，.当时，1个；当时，2个；当时，3个；【题型3 根据函数零点个数求参数】满分技巧1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。

例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，令，则，令，则，注意到，令，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，且当趋近于或时，都趋近于，若在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，若符合题意，则对应的取值范围为的真子集，结合选项可知：A错误，BCD正确；故选：BCD.【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，当时，单调递减；当时，单调递增.当时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.当时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有3个零点，所以与的图象有3个交点，由图知：.所以的取值范围为，故选：B【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数（1）求曲线在处的切线方程（2）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数，求导得，令，得，则，，显然，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由（1）知，，，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，.令，求导得，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，，即，则，因此，显然函数在上单调递增，函数值集合为，从而函数在上的函数值集合为，函数在上恰有两个不同的零点，则当且仅当，解得，所以实数的取值范围是.【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若有且仅有1个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）时，，所以，则，所以在处的切线方程为；（2）①由上知时，，有，令，即在上单调递增，又，，所以时，，时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，此时只有一个零点，符合题意；②当时，，且，所以，设，显然时，即此时单调递增，时，此时单调递减，所以，即，所以，所以根据零点存在性定理可知使得，又，易知，所以，由上证得，即，故使得，所以此时至少存在两个零点，不符题意；③时，，由①可知，所以此时无零点，不符合题意；综上所述时，有且仅有1个零点.【题型4 max、min函数的零点问题】【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，故，又因为对于任意，在总存在，使得，在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，所以在与上都趋于无穷大；令，则开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递增，故，.因为函数有且只有三个零点，而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，当时，，则，即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，当时，，则，所以在处取得零点，结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，所以有且只有三个零点，满足题意；综上：，即，故选：C.【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数.（1）若过点可作的两条切线，求的值.（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【答案】（1）或；（2）答案见解析【解析】（1）设切点为则切线方程为在直线上，则，令，则，令，解得，所以或要想让切线有两条，只需满足或（2）当时，，单调递减，在取得最大值，，所以只需考虑在的零点个数.（i）若或，则当时，在无零点.当时，在单调递减，而在有一个零点；（ii）若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取得最小值，最小值为①若，即在无零点.②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点综上，当有0个零点；当或时，有一个零点；当时，有两个零点.【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数，，其中.（1）讨论函数的。