新高考数学二轮复习分层训练专题05 各类基本初等函数（二次函数、指对幂函数等）（解析版）.doc

专题05 各类基本初等函数 【练基础】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【详解】由，得函数图象的对称轴是直线，又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，则，解得．故选：B.2．（2021·新疆·新源县第二中学高三阶段练习（理））已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于函数为增函数，所以函数在每一段上都为增函数，且还要满足，从而可求出实数的取值范围.【详解】解：因为函数是上的单调函数，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：B3．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】把用函数值表示后变形可得．【详解】由得，即，所以，故选：B．4．（2022·宁夏·银川市第六中学高三阶段练习）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件判定f(x)为偶函数，结合其单调性和特殊值，得到f(x)<13的解集，利用平移变换思想得到f(x-2)<13的解集.【详解】依题意知为偶函数，其图象关于轴对称，当时，单调递增，且，所以的解集为.将的图象沿轴向右平移个单位长度后可得的图象，所以不等式的解集为.故选:B.【点睛】本题考查应用函数的奇偶性与单调性解函数不等式问题，涉及指数函数的单调性，属基础题，为了求解关于f(x-a)的不等式常常可以先求相应的关于f(x)的不等式，然后利用平移变换的方法得到所求不等式的解集.6．（2021·黑龙江·佳木斯市第二中学高三阶段练习（理））在中，，则的形状为（     ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因，则有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的图象与函数的图象关于轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.【详解】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.8．（2022·北京·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的图象与性质，分和两种情况分类讨论，结合函数的单调性，列出不等式，即可求解.【详解】当时，由，可得，则，又由，此时不等式不成立，不合题意；当时，函数在上单调递减，此时函数在上单调递增，又由在上单调递增，要使得不等式在内恒成立，可得，解得.故选：A.二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由函数图象过点可得的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得，即，单调递减过点，故A正确；为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.10．（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）已知，，则（     ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11．（2022·河北·安新县第二中学高三阶段练习）下列结论正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据函数和的单调性，即可判断A是否正确；作出函数函数的函数图象，根据图像即可判断B是否正确；作出函数的函数图象，根据图像即可判断C是否正确；利用诱导公式，即可判断D是否正确.【详解】因为函数是单调递减函数，所以；函数在上单调递增，所以，即，故A正确；作出函数的函数图象，如下图所示：由图象可知，；故B正确；作出函数的函数图象，如下图所示：当时，可知；故C错误；， ，,所以，故D错误.故选：AB.12．（2020·全国·高三阶段练习）设函数，则（     ）．A．在上单调递增 B．的最小值是2C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】BC【解析】先根据可判断C正确，AD错误，再根据基本不等式即可判断B正确．【详解】解：对A，D，C，，，即，即的图象关于直线对称，故C正确，函数的图象关于直线对称，故AD错误；对B，，，当且仅当“”，即“”时取等号，故B正确.故选：BC.三、填空题13．（2021·广东·横岗高中高三阶段练习）已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.【答案】【分析】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分和两个范围分别证明a≤0时符合题意.【详解】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.【点睛】本题考查带有绝对值的含参数的二次函数函数的最值问题，利用特值求得a≤0，然后分类讨论证明a≤0时符合题意，是十分巧妙的方法，要注意体会和掌握.14．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.【答案】27【分析】由对数函数的图象所过定点求得点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值．【详解】由题意，，则，定点A为(2,8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.故答案为：2715．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．【答案】##-0.8【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，，故，即的周期为2，所以，且，所以.故答案为：.16．（2019·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_______．【答案】【详解】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为考点：本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A点坐标，注意利用基本不等式的条件四、解答题17．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））已知函数．(1)求在上的值域；(2)解不等式；【答案】(1)；(2)【分析】（1）令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；（2）将不等式整理为，可得，由指数函数单调性可解不等式求得结果．【详解】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，当时，；当时，；∴在上的值域为；（2）∵，即，∴，解得：，∴，即不等式的解集为18．（2022·天津市建华中学高三阶段练习）已知函数.（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）首先求出函数的对称轴，再根据题意得到，即可得到答案.（2）首先将得到，再分类讨论解不等式即可.【详解】（1）的对称轴为，因为在上单调递增，所以，解得.（2）因为，当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为.19．（2022·陕西·渭南市瑞泉中学高三阶段练习（文））已知函数的定义域是.（1）求实数的取值范围;（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为函数的定义域是，所以恒成立，则，解得，的取值范围为.（2），即，因为，所以，即，解得，故不等式的解集为.20．（2020·江苏·扬州市邗江区第一中学高三阶段练习）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）通过，求出．得到函数的解析式，解方程，求解函数的零点即可．（2）利用换元法令，，，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果即可．【详解】（1）解： 的图象关于原点对称，为奇函数，，，即，．所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为．（2）解：因为，，令，则，，，对称轴，当，即时，，；②当，即时，，（舍；综上：实数的值为．21．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数，(1)当时，求函数在的值域(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；【详解】（1）解：∵，，令，∵，∴，∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，∴的值域是.（2）解：方程有解，即有解，即有解，∴有解，令，则，∴.22．（2021·陕西·西安市长安区第七中学高三阶段练习（文））已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域.（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.【答案】（1），定义域为或；（2）.【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，所以，即，所以，令，解。