浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学卷 Word版含解析.docx

镇海中学2023学年高一第二学期期中考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数，，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限A. 一 B. 二 C. 三 D. 四【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算和复数几何意义即可求解.【详解】由题，所以复数对应的点的坐标为，故在复平面内复数对应的点在第二象限.故选：B.2. 边长为2正三角形的直观图的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出正三角形的直观图，求出高，计算面积即可.【详解】正三角形的直观图如图：由题意，，，所以过点作，垂足为，则，所以三角形的面积为：.故选：A3. 甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大是（ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用方差的定义，分别求出甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子的点数的方差，即可求出结果.【详解】由题知，所以，，所以，，所以，，所以，所以方差最大的是丁，故选：D.4. 若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ）①，，则； ②，，则；③，，则； ④，，则.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由空间中线面的位置关系判断即可.【详解】对于①，，则与可能平行，可能异面，可能相交，故①错误；对于②，，垂直于同一平面的两条直线平行，故②正确；对于③，，垂直于同一平面的两个平面可能平行，可能相交，故③错误；对于④，，垂直于同一直线的两个平面平行，故④正确；故选：C5. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ）A. 这组数据的平均数为7 B. 这组数据的众数为7C. 这组数据的中位数为7 D. 这组数据的方差为7【答案】D【解析】【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可.【详解】9，5，7，6，8，7这组数据从小到大排列，5，6，7，7，8，9，所以众数为7，中位数为7，平均数为，方差为：，故选：D6. 如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ） A. 五边形 B. 四边形C. 等腰三角形 D. 直角三角形【答案】A【解析】【分析】当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，作出截面，即可判断B，对的延长线与线段、（除点外）相交时截面为三角形 ，结合B即可判断A，利用特殊点判断C、D.【详解】对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形（当段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确； 对于A：当的延长线与线段、（除点外）相交（或点段、（除点外）上时）截面为三角形，结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误；对于C：取的中点，连接、，又为线段的中点，所以，所以为等腰三角形，故C正确； 对于D：取的中点，连接、，因为三棱柱为正三棱柱，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：A7. 已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径.【详解】首先求出正四面体外接球的半径：由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心），，，，中，，即，得，因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为.故选：D.8. 三棱锥中，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出三棱锥的外接球，当点在三棱锥的外接球的顶端时，且平面ABC，点到平面的距离最大，则三棱锥的体积的最大，求解即可.【详解】如图：因为，，由余弦定理得：，所以，外接圆的圆心为，则半径，如图，当点在三棱锥的外接球的顶端时，且平面，点到平面的距离最大，又，所以，，所以三棱锥的体积的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9. 已知事件A，B满足，，则（ ）A. 事件A与B可能为对立事件B. 若A与B相互独立，则C. 若A与B互斥，则D. 若A与B互斥，则【答案】BC【解析】【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D.【详解】对于A，由,则,故A错误；对于B，与相互独立，则与相互独立，故故B正确；对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误.故选：BC10. 如图，在正方体中，分别为线段，，中点，分别为线段，线段上的动点，则三棱锥的体积（ ）A. 与点位置有关 B. 与点位置无关C. 与点位置有关 D. 与点位置无关【答案】BD【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可得平面，平面，再根据等体积法即可求解.【详解】如图所示，连接，因为正方体中，分别为线段，中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为是线段上的动点，且平面与平面共面，所以点到平面的距离与点位置无关，所以三棱锥的体积与点位置无关，A说法错误，B说法正确，同理因为分别为线段，中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为是线段上的动点，所以点到平面的距离与点位置无关，所以三棱锥的体积与点位置无关，C说法错误，D说法正确，故选：BD11. 如图，三棱锥中，为边长是的正三角形，底面是线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）A. 点B到平面的距离的最大值为B. 三棱锥的内切球半径为C. PB与AQ所成角可能为D. 与平面所成角的正切值的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】取的中点为，连接，求出即可判断选项A；由等体积法即可计算内切球半径判断选项B；当点与点重合时，PB与AQ所成角最小，即可判断选项C；当点为的中点时，与平面所成角的正切值的最大，即可判断选项D.【详解】当点与点重合时，点B到平面的距离的最大，如图：取的中点为，连接，为正三角形，所以，又底面，底面，所以，，平面，所以平面，所以点B到平面的距离的最大为，故A正确；设三棱锥的内切球半径为，由等体积法可得：，，所以的边上的高为，，所以所以，故B正确；如图：PB与AQ所成角即为，当点与点重合时，PB与AQ所成角即为，随着点在边上由到运动过程中，点越靠近点，PB与AQ所成角越大，所以当点与点重合时，PB与AQ所成角最小为，此时，所以PB与AQ所成角大于，故C错误；如图过点作垂直于平面，垂足为，则与平面所成角为，，由于不变，所以最小时，最大，如图当点为的中点时，与平面所成角的正切值的最大，此时，,所以与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.故选：ABD.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为____________.【答案】【解析】【分析】采用列举法可得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数所有可能的结果有：，共个基本事件；其中满足的有：，共个基本事件，所求概率.故答案为：.13. 正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________.【答案】##【解析】【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解.【详解】如图，连接MC，MA，则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短，此时N为AC中点，面，如图延长至G，使得，连接GM，则面，且，所以面，故当三点共线时最小，此时.故答案为：.14. 某工厂三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为____________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为____________. 【答案】 ①. 21； ②. 89【解析】【分析】根据分层抽样按比例抽取即可得到C车间应抽取的件数；由分层抽样的方差公式：计算即可.【详解】解：由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为；样本的总体平均数为：，样本的总体方差为：，故答案为：21；89.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知复数满足方程，其中为虚数单位，.（1）当，时，求；（2）若，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）方法一：利用复数除法运算整理得到，由模长运算定义可求得结果；方法二：根据复数模长运算性质直接求解即可；（2）由可整理得到，根据二次函数最值可得结果.【小问1详解】当，时，方法一：，；方法二：.【小问2详解】，，即，，，的最小值为.16. 正方体棱长为2，，分别为和的中点．（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取中点G，证明E，G，B，D四点共面，根据线面平行的判定定理可得结果；（2）取中点分别为P，Q，连接，取中点H，连接，根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得直线与平面所成角为，进而可得结果.【小问1详解】如图一所示：取中点G，连接，，E，F分别为和的中点，∴，易证，∴，∴E，G，B，D四点共面，又，，∴四边形为平。