2022年示范教案11.pdf

2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢 ?如果能 ,运算结果应该是什么呢?另外 ,距离和角是刻画几何元素(点、线、面 )之间度量关系的基本量 .我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知 ,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图 1),那么力 F 所做的功图 1 W=|F|s|cos功 W 是一个数量 ,其中既涉及 “ 长度 ”,也涉及 “ 角”,而且只与向量F,s有关 .熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a b=|a|b|cos .这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 . 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. 3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 重点难点教学重点 :平面向量数量积的定义. 教学难点 :平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念 ,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中 ,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - W=|F|s|cos其中 是 F 与 s 的夹角 .我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量 ). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零 )运算 ,就自然地会想到 ,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课新知探究提出问题a b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么? 由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？我们知道 ,对任意 a,b R,恒有 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论? (1)(a+b)2=a2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b)=a2-b2. 活动 :已知两个非零向量a 与 b,我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 ),记作a b,即a b=|a|b|cos (0 ).其中 是 a 与 b 的夹角 ,|a|cos (|b|cos )叫做向量a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影 .如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0 180.图 2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积 ; (2)零向量与任一向量的数量积为0,即 a 0=0; (3)符号 “”在向量运算中不是乘号,既不能省略 ,也不能用 “”代替 ; (4)当 00, 从而 a b0;当2时 ,cos 0,从而 a b0.与学生共同探究并证明数量积的运算律 . 已知 a,b,c和实数 ,则向量的数量积满足下列运算律: a b=b a(交换律 ); ( a) b=( a b)=a( b)(数乘结合律 ); (a+b) c=a c+b c(分配律 ). 特别是 :(1)当 a 0 时,由 a b=0 不能推出b 一定是零向量 .这是因为任一与a 垂直的非零向量b,都有 a b=0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 图 3 (2)已知实数a、b、c(b 0),则 ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a b=b c 不能推出 a=c.由图 3 很容易看出 ,虽然 a b=b c,但 a c. (3)对于实数a、b、c 有 (a b)c=a(b c);但对于向量a、b、c,(a b)c=a(b c)不成立 .这是因为 (a b)c表示一个与c 共线的向量 ,而 a(b c)表示一个与a 共线的向量 ,而 c 与 a 不一定共线 ,所以(a b)c=a(b c)不成立 . 讨论结果 :是数量 ,叫数量积 . 数量积满足a b=b a(交换律 ); ( a) b=( a b)=a ( b)(数乘结合律 ); (a+b) c=a c+b c(分配律 ). (1)(a+b)2=(a+b) (a+b) =a b+a b+b a+b b=a2+2a b+b2; (2)(a+b) (a-b)=a a-a b+b a-b b=a2-b2. 提出问题如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？能用 “ 投影 ” 来解释数量积的几何意义吗？活动 :教师引导学生来总结投影的概念,可以结合 “ 探究 ”,让学生用平面向量的数量积的定义 ,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点 “ 投影 ”的概念 ,如图 4. 图 4 定义 :|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1 投影也是一个数量,不是向量 ; 2 当 为锐角时投影为正值;当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为0;当 =0时投影为|b|;当 =180 时投影为 -|b|. 教师结合学生对“ 投影 ” 的理解 ,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . 让学生思考 :这个投影值可正、可负,也可为零 ,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1 e a=a e=|a|cos .2 aba b=0. 3 当 a 与 b 同向时 ,a b=|a|b|;当 a 与 b 反向时 ,a b=-|a|b|. 特别地 a a=|a|2或 |a|=aa ?. 4 cos =|baba ?. 5 |a b| |a|b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果 :略 (见活动 ). 向量的数量积的几何意义为数量积a b 等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积 . 应用示例思路 1 例1 已 知 平 面 上 三 点A 、 B 、 C满 足 |AB|=2,|BC|=1,|CA|=3, 求ABBC+BCCA+CA AB的值 . 活动 :教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件 .因为已知AB、BC、CA的长度 ,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角 .结合勾股定理可以注意到ABC是直角三角形 ,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知 ,|BC|2+|CA|2=|AB|2,所以 ABC 是直角三角形.而且 ACB=90, 从而 sinABC=23,sinBAC=21. ABC=60 , BAC=30 . AB与BC的夹角为 120 ,BC与CA的夹角为90 ,CA与AB的夹角为150 . 故ABBC+BCCA+CAAB=2 1 cos120 +13cos90 +3 2cos150 =-4. 点评 :确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB与BC的夹角是120 ,而不是 60 .变式训练已知 |a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60 ,求(a+2b) (a-3b).解:(a+2b) (a-3b)=a a-a b-6b b=|a|2-a b-6|b|2=|a|2-|a|b|cos -6|b|2=62-6 4 cos60 -6 42=-72. 例 2 已知 |a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线 ,当 k 为何值时 ,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直 ? 解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb) (a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0. a2=32=9,b2=42=16, 9-16k2=0. k=43. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 也就是说 ,当 k=43时,a+kb 与 a-kb 互相垂直 . 点评 :本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练已知向量 a、b 满足 :a2=9,a b=-12,求|b|的取值范围 . 解:|a|2=a2=9, |a|=3. 又 a b=-12, |a b|=12. |a b| |a|b|, 123| b|,|b| 4.故|b|的取值范围是4,+).思路 2例 1 已知在四边形ABCD 中 ,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且 a b=c d=b c=d a,试问四边形ABCD 的形状如何？解:AB+BC+CD+DA=0, 即 a+b+c+d=0, a+b=-(c+d). 由上可得 (a+b)2=(c+d)2, 即 a2+2a b+b2=c2+2c d+d2. 又 a b=c d,故 a2+b2=c2+d2. 同理可得a2+d2=b2+c2. 由上两式可得a2=c2,且 b2=d2, 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 AB=CD, 且 BC=DA, ABCD 是平行四边形. 故AB=CD,即 a=-c. 又 a b=b c=-a b, 即 a b=, ab,即ABBC. 综上所述 ,ABCD 是矩形 . 点评 :本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状. 例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角 . 活动 :教师引导学生利用向量减法的平行四。