知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_提高.doc

平面向量的实际背景及基本概念 【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度2．向量的表示方法：(1)字母表示法：如等．(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。

由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量要点三：向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．要点诠释：（1）向量的模2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的3．单位向量：长度等于1个单位的向量．要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．规定：与任一向量共线．要点诠释：1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。

典型例题】类型一：向量的基本概念例1．判断下列各命题是否正确：(1)若，则；(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；(3)若，则(4) 单位向量都相等思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．举一反三：【变式1】判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（7）共线的向量一定相等；（8）相等的向量一定共线．【答案】√√√√【变式2】下列说法中： ①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同； ② 若非零向量与共线，则=； ④若=，则； ⑤向量与平行，则与的方向相同或相反． 其中正确的个数为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 B【解析】 对于①，显然是错误的； 对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量； 对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同； 对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．类型二：向量的表示方法例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点． （1）作出向量，，； （2）求． 【解析】 （1）如图所示． （2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD． 又， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴（千米）． 【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．举一反三：【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】C 【变式2】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在图所示向量中， （1）写出与，，相等的向量；（2）写出模相等的向量．【解析】 （1），，。

2），， 【总结升华】利用三角形的中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是常考题型，要注意掌握解决这类问题的方法．【变式3】如图是43的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？（2）与平行且模为的向量有几个？（3）与同向且模为有几个？【答案】（1）5（2）24（3）2类型三：利用向量相等或共线进行证明例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且 求证：证明：∵，∴且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴且DA∥CB又∵与的方向相同，∴同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴∵，，∴，又与的方向相同，∴总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系若，则且AB∥CD举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．类型四：向量知识在实际问题中的简单应用例4． 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移． 【解析】 （1）如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB+BC=70（n mile）． （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为，由于，故方向为北偏东53．【总结升华】 本题往往会误认为路程和位移是一致的，事实上，路程是指物体行进轨迹的长度，只有大小，而位移只与物体起点和终点有关，有大小和方向，与行进的轨迹无关．举一反三： 【变式1】已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km，飞机向西飞行50km，飞机向东飞行50km．下列判断中正确的是（ ）． A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等 B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等 C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等【答案】B8。