2012考研数学三真题与答案.docx

2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1) 曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2) 设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数，则f'0=(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!(C)-1n-1n! (D) -1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)⋯(enx-n),则fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'x f'0=g0=-1-2⋯(-(n-1)) =-1n-1n-1! 故应选A. 【方法2】 由于f0=0,由导数定义知 f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x =limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n) =-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,则 fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1) f'0=1-2=-1 则(B)(C)(D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3) 设函数f(t)连续，则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。

解析】令x=rcos θ,y=rsin θ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cos θ所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1由0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr的积分区域2cosθ1,即α>32由级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛，知α<2综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定(5) 设α1=00c1,α2=01c2,α3=1-1c3,α4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4(C) α1,α3,α4 (D) α2,α3,α4【答案】C。

解析】n个n维向量相关⇔α1,α2,⋯αn=0显然 α1,α3,α4=01-10-11c1c3c4=0所以α1,α3,α4必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100010002.若P=α1,α2,α3,Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=(A) 100020001 (B)100010002(C) 200010002 (D)200020001【答案】B解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有Q=P100110001=PE21(1)那么Q-1AQ=[PE21(1)]-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1) =100-110001100010002100110001=100010002综上所述，本题正确答案是(B)考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(7) 设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX+Y2≤1=(A) 14 (B) 12(C) π8 (D) π4【答案】D。

解析】PX2+Y2≤1=x2+y2≤1 f(x,y)dxdy而fx,y=fXxfYy=1,00)的简单随机样本，则统计量X1-X2X3+X4-2的分布为(A)N0,1 (B)t(1)(C)χ2(1) (D)F(1,1)【答案】B解析】1， X1-X2~N0,2σ2，故X1-X22σ~N0,1；2， X3+X4-2~N0,2σ2，故X3+X4-22σ~N0,1，(X3+X4-22σ)2~χ2(1), (X3+X4-22σ)2/1=X3+X4-22σ3， X1-X2与X3+X4-2相互独立X1-X22σ与(X3+X4-22σ)2也相互独立， 所以X1-X22σX3+X4-22σ=X1-X2X3+X4-2~t(1)综上所述，本题正确答案是B。

考点】概率论与数理统计—数理统计的概念二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分9) limx→π4(tanx)1cosx-sinx= 答案】e-2解析】这是一个‘1∞’型极限，由于(tanx)1cosx-sinx=[1+(tanx-1)]1cosx-sinxlimx→π4tanx-1cosx-sinx=limx→π4tanx-1cosx(1-tanx)=limx→π4-1cosx=-2所以limx→π4(tanx)1cosx-sinx=e-2【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(10) 设函数fx=lnx, &x≥12x-1, &x<1,y=ffx,则dydxx=e= 答案】1e【解析】y=ffx可看做y=fu,与u= fx的复合，当x=e时u= fe=lne=12lne=12由复合函数求导法则知dydxx=e=f'12∙f'e=2∙12xx=e=1e【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(11) 设连续函数z=f(x,y)满足limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,则dz(0,1)= 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)连续，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2), (x→0y→1) 由可微的定义得 f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算(12) 由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为 。

答案】4ln2【解析】y y=4x y=x y=4xO 1 2 x曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用(13) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A的伴随矩阵若交换A的第1行与第2行得到矩阵B，则BA*= 答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换A变成B，所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，则BA*=B|∙|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 010100001A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质 线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换(14) 设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,则PABC= 。

答案】34【解析】A,C互不相容，自然有C⊃A,当然更有C⊃AB，所以PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：15~23小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15) 求极限limx→0ex2-e2-2cosxx4【解析】【方法1】limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx∙limx→0ex2-2+2cosx-1x4 =limx→0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx→02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx→01-cosx3x2=16limx→012x2x2=112【方法2】limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx∙limx→0ex2-2+2cosx-1x4 =limx→0x2-2+2cosxx4 (等价无穷小代换) =limx→0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4))x4 (泰勒公式。