空间向量数量积运算资料.ppt

复习,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功 ,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.,,,,,1.平面向量数量积的定义,已知两个非零向量 , 则 叫做 的数量积，记作 , 即,,,,,A,B,,向量的夹角：,,,,B,,,,,,,,,4．平面向量的夹角：,复习：,2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）a⊥b a×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.平面向量数量积满足的运算律 （1）交换律: （2）对数乘的结合律: （3）分配律:,数量积不满足结合律,即:,3.1.3空间向量的数量积运算,知识要点,1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:〈a，b〉,,,,,,,,,,,,,1） 空间两个向量的夹角的定义,思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？ 2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？,注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉,3.1.3空间向量的数量积运算,2）两个向量的数量积,注： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量.,,②零向量与任意向量的数量积等于零。

3)空间向量的数量积性质:,,对于非零向量 ，有：,（求角的依据）,（证明垂直的依据）,（求向量的长度的依据),4)空间向量的数量积满足的运算律,下列命题成立吗? ①若 ,则 ②若 ,则 ③,思考:,1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3， | b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝__________， (a＋2b)·(a－b)＝__________.,范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉= 〈b，a〉.,如果〈a，b〉= π/2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b .,,,,,,,,,,,,,题型一 利用数量积求夹角,如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．,【例1】,2. 空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即,,,,,,（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）,,若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α.,,,,l,m,n,,,,,4.线面垂直的判定定理（必修2）：,,1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最大的是______.,,A.,B.,,C.,D.,,A,解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 则 ∠P2P1P3=π/6,,,,,,,,∴ 数量积中最大的是,,（1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_________.,1.填空,,,,1,方法一:发现|a + b|2+|a –b |2=2(| a |2+| b |2)带入求得.,,,,,,,,,,,,,,,有其他方法吗？,方法二:由|a –b|2=| a |2 - 2a·b + | b |2 带入求得a·b=-2. ∴|a + b|2=| a |2+2a·b+| b |2 得 |a+b|=1 方法三:数形结合法，发现形的特殊性.,,,,,,,,,,,,,,,,,（2）已知 则a，b所成的夹角为_______.,,,分析:根据两向量夹角公式,可得到所求结果.,2.选择 设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则： ①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b||a-b| ③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,。