新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 学案（知识点考点汇总及配套习题）.doc

第五章 计数原理1　计数原理 - 1 -1.1　计数原理 - 1 -1.2　计数原理的简单应用 - 9 -2　排列 - 15 -2.1　排列与排列数 - 15 -2.2　排列数公式 - 15 -3　组合 - 23 -3.1　组合 - 23 -3.2　组合数及其性质 - 23 -4　二项式定理 - 31 -4.1　二项式定理 - 31 -4.2　二项式系数的性质 - 39 -1　计数原理1.1　计数原理学 习 任 务核 心 素 养1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点)2．能正确选择分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．(难点、易错点)1．通过对计数原理的学习，培养数学抽象素养．2．借助计数原理的实际应用，培养数学建模素养．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的物理书．1．现某人从中取出一本书，应该如何“完成这件事”？2．现从三层书架上各取一本书，应该如何“完成这件事”？1．分类加法计数原理(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法，……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称“加法原理”)(2)分类加法计数原理的理解分类加法计数原理中的“完成一件事有n类办法”，是指完成这件事的所有方法可以分为n类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，n类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．2．分步乘法计数原理(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1m2…mn种方法．(也称“乘法原理”)(2)分步乘法计数原理的理解分步乘法计数原理中的“完成一件事需要n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤．在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事．　如何区分“分类”还是 “分步”？[提示]　如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“”)(1)在分类加法计数原理中，不同类方案中的方法可以相同． (　　)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中，完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　)(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有n步骤都完成后，这件事情才算完成． (　　)[答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4)√2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，不同的选法种数是(　　)A．5　　B．4　　C．9　　D．20C　[由分类加法计数原理求解，5＋4＝9(种)．故选C．]3．已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从集合A、B各取一个元素分别作为一个两位数的个位、十位数字，则可确定的不同两位数的个数为________．6　[完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个元素作为个位数字，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素作为十位数字， 有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有23＝6种不同的方法．]4．从甲地到乙地，如果翻过一座山，上山有2条路，下山有3条路．如果不走山路，由山北绕道有2条路，由山南绕道有3条路．(1)如果翻山而过，有多少种不同的走法？(2)如果绕道而行，有多少种不同的走法？(3)从甲地到乙地共有多少种不同的走法？[解]　(1)分两步：第一步，选一条上山路有2种方法；第二步，选一条下山路有3种方法．所以翻山而过，有23＝6种不同的走法．(2)分两类：第一类：由山北绕道，有2种走法；第二类：由山南绕道，有3种走法．所以绕道而行，有2＋3＝5种不同的走法．(3)分两类：第一类：翻山而过，有6种走法；第二类：绕道而行，有5种走法．所以从甲地到乙地共有6＋5＝11种不同的走法．疑难问题 类型1　分类加法计数原理【例1】　设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些油画、国画、水彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？[思路点拨]　[解]　选一幅画布置房间分三类计数：第一类：选油画，有5种不同的选法；第二类：选国画，有2种不同的选法；第三类：选水彩画，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.,前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏.[跟进训练]1．某校高三共有三个班，各班人数如下表：男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？[解]　(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法． 类型2　分步乘法计数原理【例2】　某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤．现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？[思路点拨]　[解]　完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有653＝90种．解决分步乘法计数问题的思考过程是(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事；(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法；(3)完成这件事共有多少种方法.[跟进训练]2．将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？[解]　完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有444＝43＝64种投法． 类型3　两个计数原理的综合应用【例3】　已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中任取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为(　　)A．18　　B．16　　 C．14　　D．10[思路点拨]　C　[完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5，6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有32＝6个不同的点．第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1，3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有42＝8个不同的点．由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．]应用两个计数原理解决应用问题的方法(1)分清是“分类”还是“分步”；(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性.[跟进训练]3．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？[解]　(1)分三类：第一类，选出的是医生，有3种选法；第二类，选出的是护士，有5种选法；第三类，选出的是麻醉师，有2种选法．根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10(种)选法．(2)分三步：第一步，选1名医生，有3种选法；第二步，选1名护士，有5种选法；第三步，选1名麻醉师，有2种选法．根据分步乘法计数原理知，共有352＝30(种)选法．1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤．1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有(　　)A．24种　　B．16种　　C．12种　　D．10种C　[完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C．] 2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法种数为(　　)A．10　　B．25　　C．52　　D．24D　[根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24(种)．]3．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　)A．81　　B．64　　C．48　　D．24A　[每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．]4．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车，每天飞机有2班，火车有4班，长途汽车有10班，一天中，乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有________种方法．16　[利用分类加法计数原理，共有2＋4＋10＝16种方法．]5．从1到200这200个自然数中，各个数位上都不含数字8的共有多少个？[解]　应分三类来解决该问题．第一类，一位数中符合要求的数有8个．第二类，两位数中，十位上的数字有8种选法，个。