专题18 相交线与平行线（学案含解析）-中考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

2022年中考数学一轮复习学案18 相交线与平行线 中考命题说明考点课标要求考查角度1点、线、面、角①通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、角；②会比较角的大小，会计算角度的和与差，会进行简单的角度换算；③了解补角、余角的概念，知道等角的余角相等、等角的补角相等．常以选择题、填空题的形式考查点、线、面、角、余角、补角的概念和等角的余角相等、等角的补角相等的性质．2相交线与平行线①了解对顶角的概念，知道对顶角相等；②了解垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，了解垂线段最短的性质；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；③知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会过已知直线外一点画这条直线的平行线；④理解平行线的性质定理和判定定理，并能进行有关的计算与论证．常以选择题、填空题的形式考查对顶角、垂线的概念、性质以及平行线的性质和判定．知识点1：点、线、面、角知识点梳理1．点动成线、线动成面、面动成体．2．角：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条 射线 绕着它的端点旋转而形成的图形．3． 度分秒的换算： 1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°． 1°= 60 '，1'= 60 ″ ．4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于 90° ，就说这两个角互为余角． 同角 或 等角 的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于 180° ，就说这两个角互为补角． 同角 或 等角 的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．典型例题【例1】（2分）（2021•北京1/28）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱【考点】几何体的展开图．【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．【解答】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，∴展开图可得此几何体为圆柱．故选：B．【点评】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．【例2】（3分）（2021•广东6/25）下列图形是正方体展开图的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】几何体的展开图【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可．【解答】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：故这些图形是正方体展开图的个数为3个．故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．【例3】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟14/26）74°19′30″= °．【考点】度分秒的换算【分析】先将30″化成“分”，再将19.5′化成“度”即可．【解答】解：，19′+0.5′=19.5′，，74°+0.325°=74.325°，故答案为：74.325．【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．【例4】（4分）（2021•上海11/25）70°的余角是 ．【考点】余角和补角【分析】根据余角的定义即可求解．【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°-70°=20°，故答案为20°．【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键．知识点2： 直线、射线和线段知识点梳理1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．4．线段的和差：如下图，段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB= AC -BC；BC=AC- AB ．  5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB=AB．6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．典型例题【例5】（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）A．a B．b C．c D．d【考点】直线、射线、线段．【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．【解答】解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故答案为：a．故选：A．【点评】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键．【例6】（3分）（2021•包头3/26）已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【考点】两点间的距离【分析】根据题意可分为两种情况，①点C段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．【解答】解：根据题意分两种情况，①如图1：∵AB=4，BC=2，∴AC=AB-BC=2，∵D是线段AC的中点，∴；②如图2：∵AB=4，BC=2，∴AC=AB+BC=6，∵D是线段AC的中点，∴．∴线段AD的长为1或3．故选：C．【点评】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．知识点3： 相交线知识点梳理1. 相交线中的角:（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角． （2）邻补角互补，对顶角相等．（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并且在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度． 4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l⊥AB，OA=OB，则AP=BP． 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图， 逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图， 典型例题【例7】（2分）（2021•北京3/28）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】垂线．【分析】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．【例8】（3分）（2021•海南9/22）如图，已知a∥b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交直线b于点C，连接AC，若∠1=40°，则∠ACB的度数是（ ）A．90° B．95° C．100° D．105°【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到CA=CB，所以∠CBA=∠CAB=40°，进而可得结果．【解答】解：∵a∥b，∴∠CBA=∠1=40°，根据基本作图可知：MN垂直平分AB，∴CA=CB，∴∠CBA=∠CAB=40°，∴∠ACB=180°-2×40°=100°．故选：C．【点评】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．【例9】（2分）（2021•河北12/26）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）A．0 B．5 C．6 D．7【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．【例10】（3分）（2021•青海5/25）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定【考点】角平分线的性质．【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公。