高中数学复习专题44 二项式定理（解析版）.docx

专题44 二项式定理 【题型归纳目录】题型一：求二项展开式中的参数题型二：求二项展开式中的常数项题型三：求二项展开式中的有理项题型四：求二项展开式中的特定项系数题型五：求三项展开式中的指定项题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数题型七：求二项式系数最值题型八：求项的系数最值题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和题型十：求奇数项或偶数项系数和题型十一：整数和余数问题题型十二：近似计算问题题型十三：证明组合恒等式题型十四：二项式定理与数列求和题型十五：杨辉三角【考点预测】知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：①（）②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【典例例题】题型一：求二项展开式中的参数例1．（2022·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（    ）A．2 B．-2 C．8 D．-8【答案】B【解析】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（    ）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【解析】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（    ）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4【答案】C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．故选：C例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由二项式定理知：含项为  ，由题意 ， ，解得 ；故选：C.例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））展开式中的系数为，则（    ）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】的展开式通项公式为，故，记得，故选：A【方法技巧与总结】在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．题型二：求二项展开式中的常数项例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】展开式通项为，令，解得，因此，展开式中常数项为.故选：A.例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）的展开式中的常数项为（    ）A． B．60 C．64 D．120【答案】B【解析】展开式的通项为，令解得，所以常数项.故选：B.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】二项式的展开式为，令，，则，因为所以当时，取得最小值3，故选：B例9．（2022·全国·模拟预测）二项式的展开式中的常数项为（    ）A．210 B．－210 C．252 D．－252【答案】A【解析】二项式的展开式的通项为，令可得，所以常数项为，故选：A【方法技巧与总结】写出通项，令指数为零，确定，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例10．（2022·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.【答案】6【解析】二项展开式的通项公式为，第项的系数为，当即时，系数为有理数，这样的项的个数为6，故答案为：6例11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．【答案】4【解析】依题意，知，，则展开式的第项为，当时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为.故答案为：4.例12．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．【答案】取6，8，9，10，11中任意一个值均可．【解析】的展开式的通项为，，．若系数为有理数，则，且．当时，；时；时；时，6；时无解；时，8；时，6；时，10；时，8，时，6，12．所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值．故答案为：取6，8，9，10，11中任意一个值均可．例13．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【答案】17【解析】的展开式的通项为：，即r既是3的倍数，又是2的倍数，则是的倍数，r=0，6，12，.......，96，共17项.故答案为：.例14．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）在的展开式中有__项为有理数．【答案】9．【解析】通项公式：．当与都为整数且为整数时，为有理数，则．∴展开式中有9项为有理数．故答案为：9．【方法技巧与总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例15．（2022·北京海淀·一模）在的展开式中，的系数为（    ）A． B．1 C． D．4【答案】B【解析】的展开式的通项公式为，令，则，故的系数为，故选：B.例16．（2022·云南·高三阶段练习（理））在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ）A．20 B． C．15 D．【答案】A【解析】第4项的二项式系数为.故选:A例17．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（    ）．A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，可得，解得.故选：B.例18．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】的通项为，令，即，，故选：D.【方法技巧与总结】写出通项，确定r，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例19．（2022·广东·高三阶段练习）的展开式中，项的系数为___________．【答案】210【解析】因为所以含有项的为.所以的展开式中，含项的系数为210.故答案为：210.例20．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）的展开式中，的系数为______.【答案】30【解析】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是 故答案为：30例21．（2022·山西大附中高三阶段练习（理））的展开式中常数项为_________.【答案】【解析】中的常数项为,故答案为:88例22．（2022·广东· 广州市庆丰实验学校一模）的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）【答案】481【解析】的通项公式为，，对于，它的通项公式为，，令，可得，或，或．故的展开式中的常数项为，故答案为：481．例23．（2022·全国·高三专题练习）的展开式合并前的项数为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】从个因式中，每一次都要选一个、、、相乘，∴展开式中共有项.故选：D.例24．（2022·河北邢台·高三期末（理））的展开式的常数项为A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴的展开式中的常数项为.故选：A.例25．（2022·四川绵阳·三模（理））在的展开式中，项的系数为（　　）A． B． C．30 D．50【答案】B【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选B．例26．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是（    ）A．120 B．-120 C．60 D．30【答案】A【解析】，展开式的第项为，令，可得第3项为，的展开式的第项为，令，可得第3项为，所以的展开式中，的系数是．故选：A．【方法技巧与总结】三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例27．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）的展开式中的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】；展开式中的系数为；展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.例28．（2022·四川·高三开学考试（理））的展开式中的常数项为（    ）A．240 B． C．400 D．80【答案】D【。