湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题 Word版含解析.docx

腾·云联盟2023-2024学年度上学期高三年级十月联考数学试卷考试时间：2023年10月18日 试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为，，所以，故选：D.2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的定义，即可求解.【详解】由复数，可得，所以，所以复数的虚部为.故选：A.3. 在中，，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】将平方，再结合模长运算即可求解.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以.故选：C.4. 将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得，再由的图象关于轴对称，得到，求得，结合选项，即可求解.【详解】将函数的图象向右平移个单位后，可得，因为的图象关于轴对称，所以，即，解得，即，当时，可得，所以B项符合.故选：B.5. 在正项等比数列中，，则的最小值是（ ）A. 12 B. 18 C. 24 D. 36【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质及基本不等式即可求解.【详解】在正项等比数列中，，所以，当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.故选：C.6. 如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.【详解】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为，解得，所以扇环的两个圆弧长分别为和，设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得，，解得，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，，过点向作垂线，垂足为，则，所以圆台的高，则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：.故选：A.7. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，于是，，两式相减得，解得，所以火箭发射时的声压约为.故选：D8. 在锐角中，角的对边分别为，且的面积，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由三角形面积公式求出，然后引入参数，将所求表示为的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得，注意到在锐角中，有，从而可以求出的范围，由此即可得解【详解】由三角形面积公式结合，可知，即，又由平方关系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以 ，故只需求出的范围即可，由正弦定理边化角得，注意到在锐角中，有，简单说明如下：若，则，即不是锐角，但这与是锐角三角形矛盾，所以在锐角中，有，所以在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增，所以，从而，而函数在单调递减，在单调递增，所以.综上所述：的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查了正余弦定理综合应用，以及诱导公式、两角和差的正弦公式等来化简表达式，关键就是将所求化繁为简，化未知为已知，并且注意锐角三角形的特殊性，即注意到在锐角中，有，结合以上关键点即可顺利求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）A. 剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变B. C. 剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数D. 【答案】ABD【解析】【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确；对于B，依题意，，，，由，得，即，于是，因此，即，B正确；对于C，因为，则剩下18个数据的分位数为，又，则原样本数据的分位数为，C错误；对于D，因为，则，，，于是，，因此，即，D正确.故选：ABD10. 某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ）A. B. 与均不相互独立C. D. 若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大【答案】AC【解析】【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的概率乘法公式计算判断B，根据条件概率公式计算判断C，根据古典概型概率公式计算判断D.【详解】由题意，，，则，故A正确；由，则，所以与相互独立，故B错误；因为，所以，所以，故C正确；由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为，所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为，该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为，所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误.故选：AC11. 已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，逐项判断即可.【详解】由函数关于直线对称，可得，即，则函数关于直线对称，故选项C正确；由的图象关于点对称，可得，即，以2x代换x，则，所以函数关于点对称，可得，即，结合可得，所以，故选项B正确.所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误；故选：BC12. 在中，内角的对边分别为，则下列说法中正确的有（ ）A. 若，则面积的最大值为B. 若，则面积的最大值为C. 若角的内角平分线交于点，且，则面积的最大值为3D. 若为的中点，且，则面积的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理、基本不等式以及三角形的面积公式可判断AB；根据角平分线的性质及余弦定理，结合二次函数求解最值判断C，根据余弦定理结合二次函数求解最值判断D.【详解】对于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以A错误；对于B，由余弦定理可得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为，故B正确；对于C，设，，则，，在和中，分别运用正弦定理，得和.因为，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为3，所以C正确；对于D，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则，所以，所以当即时，，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得边角关系，再建立三角形的面积函数，进而借助基本不等式或二次函数的图象和性质，分析探求出其最大值使得问题获解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于轴对称”的幂函数：________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质以及函数奇偶性即可得到答案.【详解】举例，令，无实数解，且定义域为，则函数的图象与坐标轴没有交点，，且定义域为，关于原点对称，则为偶函数，则其图象关于轴对称.故答案为：.14. 的展开式中含项的系数为________.【答案】【解析】【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.15. 在等比数列中，，则________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断为等比数列，然后由等比数列求和公式可得.【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：.16. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方。