高中数学（人教B版 选修2-3）第1章 计数原理-二项式定理 2.doc

1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用.[基础·初探]教材整理1　杨辉三角阅读教材P29，完成下列问题.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.1.如图1­3­1是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________.13　35　6　57　11　11　79　18　22　18　9图1­3­1【解析】　由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.【答案】　2n－12.如图1­3­2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11　11　2　11　3　3　11　4　6　4　1……图1­3­2【解析】　设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C＝2C，即＝，解得n＝34.【答案】　34教材整理2　二项式系数的性质阅读教材P29后半部分，完成下列问题.1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.3.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T＋1的二项式系数相等且最大.4.二项展开式的二项式系数的和等于2n.1.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________.【解析】　因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.【答案】　82.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________. 【导学号：62980026】【解析】　二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.【答案】　53.(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.【解析】　因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　 解惑：　 疑问2：　 解惑：　 疑问3：　 解惑：　 [小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题　如图1­3­3，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值.图1­3­3【精彩点拨】　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：[再练一题]1.如图1­3­4所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.图1­3­4【解析】　由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.【答案】　46　求展开式的系数和　设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.【精彩点拨】　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解.【自主解答】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＝32 017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝－1－32 017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C ·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N).∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＝32 017.1.解决二项式系数和问题思维流程.2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.[再练一题]2.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.【解】　(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1　根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】　对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象中得到.探究2　计算，并说明你得到的结论.【提示】　＝.当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>时，二项式系数逐渐减小.探究3　二项式系数何时取得最大值？【提示】　当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn，Cn相等，且同时取得最大值.　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.【精彩点拨】　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号.【自主解答】　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r).假设Tr＋1项系数最大，则有∴∴∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得.[再练一题]3.已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 【导学号：62980027】【解】　由5，得Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54，所以a＝±.[构建·体系]1.(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)A.n，n＋1　　 B.n－1，nC.n＋1，n＋2 D.n＋2，n＋3【解析】　该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项.【答案】　C2.已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　) 【导学号：62980028】A.64 B.32 C.63　　 D.31【解析】　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.【答案】　B3.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________.【解析】　(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.【答案】　54.已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.【解析】　(a－x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCa5－rxr，令r＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.【答案】　15.在8的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项；(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项.【解】　Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)rC2rx4－.(1)设第r＋1项系数的绝对值最大.则∴解得5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项.所以T5＝C·24·x4－＝1 120x－6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.。