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例析直角坐标系中矩形变换题1. 平移+旋转 +翻析例 1 如图 1-①，以矩形 OABC 的两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为（3，0），C 点的坐标为（0，4），将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转，使 B 点落在 y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、 相交于点 M1）求点 的坐标与线段 的长；（2）将图 1-①中的矩形 沿 y 轴向上平移，如图 1-②，矩形是平移过程中的某一位置， 、 相交于点 ，点 P 运动到 C 点停止，设点 P 运动的距离为 x，矩形 与原矩形 OABC 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）如图 1-③，当点 P 运动到点 C 时，平移后的矩形为 ，请你思考如何通过图形变换使矩形 与原矩形 OABC 重合，请简述你的做法分析：第（1）问由勾股定理得 的长，从而求出点 的坐标，已知线段OC 的长，继而求出线段 的长第（2）问在矩形 的整个平移过程中，矩形 与原矩形 OABC 重叠图形由四边形（当点 从开始位置平移到矩形 OABC 的边 BC 上时）变为三角形（当点 从矩形 OABC 的边 BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量 x 的取值范围及重叠部分的面积。

第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到解：（1）如图 1-①，因为 ，所以点 的坐标为（0，5）2）在矩形 沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中，点 运动到矩形 OABC 的边 BC 上时，求得 P 点移动的距离 当自变量 x 的取值范围为 时，如图 1-②，由△ ∽△ ，得 ，此时， ，即 ，当自变量 x 的取值范围为 时，求得 3）①把矩形沿∠ 的角平分线所在直线对折或 ②把矩形 绕 C 点顺时针旋转，使点 与点 B 重合，再沿 y 轴向下平移 4 个单位长度或③把矩形绕 C 点顺时针旋转，使点 与点 B 重合，再沿 BC 所在的直线对折或④把矩形 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度，再绕 O 点顺时针旋转，使点 与点 A 重合点评：新课程标准下的几何内容突出了图形变换问题，使几何的基础知识贴近实际，更接近生活矩形在沿 y 轴向上平移的过程中，对应线段、对应角的大小始终保持不变，尤其第（3）问是学习和掌握平移、旋转、翻折的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用2. 旋转例 2 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转角，得到矩形 CFED。

设 FC 与 AB 交于点 H，且 A（0，4）、C（6，0）（如图 2-①）1）当 时，△CBD 的形状是_________；（2）当 AH=HC 时，求直线 FC 的解析式；（3）当 时，（如图 2-②），请探究：经过点 D，且以 B 为顶点的抛物线，是否经过矩形 CFED 的对称中心 M，并说明理由分析：第（1）问可利用旋转前后对应线段相等得出BC=CD，∠BCD= ，所以△CBD 为等边三角形；第（2）问中可利用勾股定理求出 H 点坐标，从而求出 FC 的解析式；第（3）问中求出 M 点坐标，代入解析式检验解：（1）等边三角形2）设 AH=x，则 HB=AB-AH=6-x，依题意可得 AB=OC=6，BC=OA=4在 Rt△ BHC 中， ，即 ，解得 ，∴H（ ，4 ）设 ，把 H（ ）、C（6，0）代入 得 解得∴ 3）抛物线顶点为 B（6，4），设 ，把 D（10，0）代入得，∴ ，依题意可得，点 M 的坐标为（8，3），把 代入，得 ，∴抛物线经过矩形 CFED 的对称中心 M点评：本题为关于旋转的综合题，综合考查等边三角形的判定、直线关系式的求法，及中心对称的有关知识。

矩形在绕点 C 的旋转过程中，线段的大小保持不变，综合性强，有一定的难度，有利于培养同学们勇于探索的良好学习习惯例 3 如图 3，点 O 是坐标原点，点 A（n，0）是 x 轴上一动点（ ）以AO 为一边作矩形 AOBC，点 C 在第二象限，且 OB=2OA，矩形 AOBC 绕点 A逆时针旋转 得矩形 AGDE过点 A 的直线 交 y 轴于 F 点，FB=FA抛物线 过点 E、F、G 且和直线 AF 交于点 H，过点 H作 HM⊥x 轴，垂足为点 M1）求 k 的值；（2）点 A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形 AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由分析：第（1）问利用已知条件及勾股定理，得 ，又直线过点A（n，0），用中间变量 n，求出 k 的值第（2）问用中间变量 n 表示出抛物线的解析式，解直线与抛物线联列的方程组，求出点 H 的坐标，从而用中间变量 n 表示出△AMH 的面积及矩形 AOBC 的面积，进而求出它们的比值解：（1）根据题意得到：B（0，-2n）；当 时， ，∴点F 的坐标为（ 0，m），而 FB= ∵Rt △ AOF 中， ，又 FB=AF，∴ ，化简得： ，对于 过点 A（n，0）∴ ，∴（2）∵抛物线 过点 E（3n，0）、点 F（0， ）、点 G（， ），∴解得： ， ， 。

∴抛物线为 解方程组： 得 ；∴H 坐标是：（5n，3n），HM= ，AM= ，∴ ，而 ，∴ ，不随着点 A 的位置的改变而改变点评：本题主要考查应用矩形旋转特征，解决一次函数、二次函数的图像性质问题的能力，矩形绕点 A 逆时针旋转 后，线段大小保持不变3. 翻折例 4 在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB=2，AD=1，且 AB、AD分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点 A 落在边 DC 上，设 A′是点 A 落在边 DC 上的对应点1）当矩形 ABCD 沿直线 折叠时（如图 4-①），求点 A′的坐标和 b 的值；（2）当矩形 ABCD 沿直线 折叠时，①求点 A′的坐标（用 表示），并求出 k 和 b 之间的关系式；②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 4-②，4-③，4-④三种情形，请你分别写出每种情形时 k的取值范围将答案直接填在每种情形下的横线上）k 的取值范围是________；k 的取值范围是________；k 的取值范围是________简析：（1）根据轴对称的性质，可得两直角三角形相似，从而得对应线段成比例，求出点 A′的坐标为（ ，1），再由勾股定理求出 。

2）本小题与（1）小题的区别是用字母 k 表示数，同法（1）求出点 A′的坐标为（-k，1），k 和 b 之间的关系式为 3）从图 ②至图④中对称轴的位置可以看出，对称轴由陡渐平，从而 k 值由小到大直至为 O，再考虑点 A′的三个特殊对称点，当 A′分别与点 C、D、B 重合时，对应的 k 值分别为-2，-1，-2+ ，从而在三种图形下对应的 k 的取值范围分别为 ，， 例 5 将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在 x 轴上，OA=6， OC=101）如图 5-①，在 OA 上取一点 E，将△EOC 沿 EC 折叠，使 O 点落在AB 边上的 D 点，求 E 点的坐标；（2）如图 5-②，在 OA、OC 边上选取适当的点 E′、F，将△E′OF 沿E′F 折叠，使 O 点落在 AB 边上的 D′点，过 D′作 D′G ∥y 轴交 E′F 于T 点，交 OC 于 G 点，求证：TG=AE′3）在（2）的条件下，设 T（x，y）①探求：y 与 x 之间的函数关系式②指出变量 x 的取值范围4）如图 5-③，如果将矩形 OABC 变为平行四边形 OA′B′C′，使OC′=10，OC′边上的高等于 6，其它条件均不变，探求：这时 T′（x，y）的坐标 y 与 x 之间是否仍然满足（3）中所得到函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式。

简析：（1）设 E（0，m），在△ADE 由勾股定理得 或由△ADE ∽△BCD 得 ，解得 ，∴E（ 0， ）2）连接 OD′交 E′F 于 P，由折叠可知 E′F 垂直平分 OD′，即OP=PD′，由 OE′∥DG ′，从而得出 OE′=D′ T，从而 AE′=TG3）①连接 OT，由（2）可得 OT=D′T，由勾股定理可得得 ②结合（1）可得 AD′=OG=2 时，x 最小，从而 ；当 E′F 恰好平分∠AOB 时，AD′最大即 x 最大，此时 G 点与 F 点重合，四边形 AOFD′为正方形，故 x 最大为 6，从而 ，故 4）y 与 x 之间仍然满足（3）中所得的函数关系式理由：连接 OT′仍然可得 OT′ =D′′T′，即 从而（3）中所得的函数关系式仍然成立点评：这两道题主要考查应用矩形对称特征，利用三角形相似及勾股定理解决从特殊到一般问题的能力，是两道立意新、设计巧、解法活的好题。