高中数学第十一篇 计数原理第2讲 排列与组合.doc

第 2 讲 排列与组合1．考查排列组合的概念及其公式的推导．2．考查排列组合的应用．【复习指导】复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．基础梳理1．排列(1)排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A表示．m n(3)排列数公式A ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．m n(4)全排列数公式A ＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做 n 的阶乘)．n n2．组合(1)组合的定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号 C表示．m n(3)组合数公式C ＝＝＝m nAm nAm mnn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！(n，m∈N*，且 m≤n)．特别地 C ＝1.0 n(4)组合数的性质：①C ＝C；②C＝C ＋C.m nn－mnmn＋1m nm－1n一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” ．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式(1)排列数公式 A ＝m nn！n－m！(2)组合数公式 C ＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和m nn！m！n－m！组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序” ，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序” ．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． ”双基自测1．8 名运动员参加男子 100 米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8 的八条跑道，若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这 8 名运动员安排跑道的方式共有( )．A．360 种 B．4 320 种 C．720 种 D．2 160 种解析 本题考查排列组合知识，可分步完成，先从 8 个数字中取出 3 个连续的三个数字共有 6 种可能，将指定的 3 名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的 5 个排在其他的编号的 5 个跑道上，故共有 6A A ＝4 320 种方式．3 3 5 5答案 B2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )．A．200 个 B．190 个 C．185 个 D．180 个解析 正五棱柱共有 10 个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C＝210 个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：4 10(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有 2C 个．4 5(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有 C 个．2 5(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如 AB∥E1C1)，这样共面的四点共有 2C 个．1 5所以 C－2C －C －2C ＝180(个)，选 D.4 104 52 51 5答案 D3．(2010·山东)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )．A．36 种 B．42 种 C．48 种 D．54 种解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有 A ＝24 种排法，当甲排在第二位时，有 A ·A ＝18 种排法，4 41 33 3所以共有方案 24＋18＝42(种)，故选 B.答案 B1233122314.如图，将 1,2,3 填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )．A．6 种 B．12 种C．24 种 D．48 种解析 只需要填写第一行第一列，其余即确定了．因此共有 A A ＝12(种)．3 3 2 2答案 B5．某工程队有 6 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这 6 项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．解析 可将 6 项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b 表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b 五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共 A C ＝20 种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排 a、b，2 5 3 3共 C A ＝20 种排法．3 5 2 2答案 20考向一 排列问题【例 1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．[审题视点] 根据题目具体要求，选择恰当的方法，如捆绑法、插空法等．解 (1)A A ＝480；2 5 4 4(2)A A ＝240；2 2 5 5(3)A A ＝480；4 4 2 5(4)A A A ＝144；2 2 2 4 3 3(5)A －2A ＋A ＝504；6 65 54 4(6)A ＝120.3 6有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．【训练 1】 用 0,1,2,3,4,5 六个数字排成没有重复数字的 6 位数，分别有多少个？(1)0 不在个位；(2)1 与 2 相邻；(3)1 与 2 不相邻；(4)0 与 1 之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．解 (1)A A ＝480；2 5 4 4(2)A A A ＝192；2 2 1 4 4 4(3)A A －A A A ＝408，1 5 5 52 2 1 4 4 4(4)A A A ＋A A ＝120；2 4 1 2 2 22 4 3 3(5)A －2A ＋A ＝504；6 65 54 4(6)A －A ＝60.3 63 5考向二 组合问题【例 2】►某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？[审题视点] “无序问题”用组合，注意分类处理．解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C＝816(种)；3 18(2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C＝8 568(种)；5 18(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C C＋C＝6 936(种)；1 24 183 18(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有 CC ＋CC ＋CC ＋C1 12 4 82 12 3 83 12 2 8C ＝14 656(种)．4 12 1 8法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C－(C＋C )＝14 656(种)．5 205 125 8对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．【训练 2】 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C C C ＝24(种)．2 4 1 2 1 2(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C C ，又甲乙两人所2 4 2 4选的两门课程都相同的选法种数为 C 种，因此满足条件的不同选法种数为2 4C C －C ＝30(种)．2 4 2 42 4考向三 排列、组合的综合应用【例 3】►(1)7 个相同的小球，任意放入 4 个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算 x＋y＋z＝6 的正整数解有多少组；(3)计算 x＋y＋z＝6 的非负整数解有多少组．[审题视点] 根据题目要求分类求解，做到不重不漏．解 (1)法一 先将其中 4 个相同的小球放入 4 个盒子中，有 1 种放法；再将其余 3 个相同的小球放入 4 个不同的盒子中，有以下 3 种情况：①某一个盒子放 3 个小球，就可从这 4 个不同的盒子中任选一个放入这 3 个小球，有 C 种不同的放法；1 4②这 3 个小球分别放入其中的 3 个盒子中，就相当于从 4 个不同的盒子中任选3 个盒子，分别放入这 3 个相同的小球，有 C 种不同放法；3 4③这 3 个小球中有两个小球放在 1 个盒子中，另 1 个小球放在另一个盒子中，从这 4 个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有 A 种不同的方法．2 4综上可知，满足题设条件的放法为 C ＋C ＋A ＝20(种)．1 43 42 4法二 “每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球” ，若用“挡板法” ，可易得 C ＝20.3 6(2)可看做将 6 个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法．转化为 6 个 0,2 个 1 的排列，要求 1 不排在两端且不相邻，共有 C ＝10 种排法，因2 5此方程 x＋y＋z＝6 有 10 组不同的正整数解；(3)可看做将 6 个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为 6 个 0,2 个 1 的排列，共有 C ＝28 种排法，因此方程 x＋y＋z＝6 有 28 组不同的非负整数解．2 8排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序” ，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用“挡板法”求解，实质上是最终转化为组合问题．(2)在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将 4 个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有 C C 种1 43 3不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．C2 4C2 2A2 2【训练 3】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成 1 本、2 本、3 本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；(3)分成每组都是 2 本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．解。