高考数学二轮复习提升培优专题29立体几何大题综合（解析版）.doc

专题29 立体几何大题综合 （新高考通用）1．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．(1)求证：平面平面．(2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)四棱锥的体积为.【分析】（1）由圆锥的几何性质推得平面平面，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，可得，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）由平面平面，，知平面，从而有，，故，进而得，由和棱锥的体积公式，得解．【详解】（1）证明：是圆的切线，，由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心，∴平面，又平面，∴平面平面，平面平面，平面，平面，，，，则，，又，、平面，平面，平面，平面平面．（2），且为的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，为二面角的平面角，即，，在中，，，，四棱锥的体积．2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可证明；（2）设且，利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数的值，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以、，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，且不存在使得，即与不共线，所以与平面不平行且不垂直.（2）解：设且，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为，，化简得，解得或（舍去），因为，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，所以，，平面，所以平面，又，所以，，所以，所以，即多面体的体积为.3．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于.把沿翻折至的位置，连接､.(1)为边的一点，若，求证：平面；(2)当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由线面平行判定定理证明平面，平面，根据面面平行判定定理证明平面平面，根据面面平行性质定理证明平面；(2)根据锥体体积公式由条件确定平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据向量夹角公式求法向量的夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）取中点，连接，因为在正三角形中，，又因为，所以，平面，平面，所以平面，又有，且，所以，而平面，平面，所以平面.有，平面，所以平面平面，又平面，因此平面.（2）因为，又因为的面积为定值，所以当到平面的距离最大时，四面体的体积有最大值，因为，，，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，当时，平面平面，平面所以平面，即在翻折过程中，点到平面的最大距离是，因此四面体的体积取得最大值时，必有平面.如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直接坐标系，易知，，，，，，，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，，由，令得：，，所以为平面的一个法向量，.所以平面与平面的夹角（锐角）的余弦值为.4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）(1)若是棱中点，（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；（ii）求证：平面；(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.【答案】(1)(i)作图见解析；(ii)证明见解析；(2)点段靠近的三等分处时, 正弦值取最大值为.【分析】（1）(i)根据重心为三角形三边中线的交点可作图；(ii)利用线面平行判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算，表示出线面夹角的正弦值，即可求最大值.【详解】（1）（i）设与交点为，连接与交于点，因为为中点，为中点，所以与交点为重心，所以,又因为为的边的中线，所以点也为的重心，即重心在上.（ii）连接并延长交于点，连接，因为为重心，所以,又因为,所以，又因为平面,平面,所以平面；（2）因为四边形为正方形，所以,平面，平面，所以，所以以为坐标原点，建立如图所示坐标系，所以设，则设平面的法向量为，，化简得，取则，设直线与平面所成角为，所以，所以当时，即点段靠近的三等分点处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值为.5．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图，五棱锥中，，，，，，，，，O，H分别是线段的中点，．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由几何关系证，由线线垂直证线面垂直；（2）建立空间直角坐标系如图所示，由向量法求二面角的余弦值，进而可求出正弦值.【详解】（1）∵，，∴AEDC为等腰梯形，∵O，H分别是线段的中点，∴，，又∵，∴，即共线，∵，，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平面，∴平面；（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，.设是平面ABP的法向量，则，取，则；设是平面ACP的法向量，则，取，则.∴，则二面角的正弦值为.6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）如图，在三棱柱中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，，BC1与交于点E，平面平面ABC，，是侧棱上一点．(1)若D为的中点，证明：平面BCD．(2)是否存在点D，使得二面角的正弦值为？若存在，指出点D的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)详见解析(2)存在，为的三等分点处，即或.【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明平面BCD.(2)首先假设存在，使得二面角的正弦值为，建立适当的空间直角坐标系，分别求的两个平面的法向量，即可求得二面角的正弦值为时点D的位置.【详解】（1）取的中点，连接，为的中点，为的中点，，又，，为的中点，且，为的中点，，，四边形为平行四边形，， 面，面，故面，同理面，又面，面且，所以面面，又面，平面BCD（2）连接，面面且面面，又面，又面，，在中，，则，即，则面，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，；设平面的一个法向量为，则即令，则，；所以二面角正弦值为，解得或，所以存在点D，使得二面角的正弦值为，此时，为的三等分点处，即或.7．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．(1)证明：为圆柱底面的直径；(2)若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面，继而证明平面，根据线面垂直的性质定理证明，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）证明：连接，在直三棱柱中，，∴四边形为正方形，∴又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴又平面，平面，∴．又，,平面，∴平面，又平面，∴，∴为圆柱底面的直径．（2）由已知平面，，∴以为正交基底建立空间直角坐标系，∴，，，，，．∵为，中点，∴，．设平面的一个法向量为．则，又，，∴，取，得，，∴，设平面的一个法向量为．则ï，又，，∴，取，得，．∴，∴，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．8．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）如图1，在长方形ABCD中，已知，，E为CD中点，F为线段EC上（端点E，C除外）的动点，过点D作AF的垂线分别交AF，AB于O，K两点．现将折起，使得（如图2）．(1)证明：平面平面；(2)求直线DF与平面所成角的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证平面，得平面，所以，再证平面，从而得证面面垂直；（2）直线DF与平面所成角为，记，设（），由，得，计算，利用基本不等式得最大值，从而得角的最大值．【详解】（1）因为，，，平面，，所以平面． 因为平面，所以．又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以平面平面．（2）连结FK，由（1）可知，直线DF与平面所成角为，记．在图1中，因为，所以，又因为，所以．又因为，所以．设（），由，得，解得．在图2中，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为，所以的最大值为，即直线DF与平面所成角的最大值为．9．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）如图①，在中，，，，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥，如图②，设平面平面(1)证明：平面PBD；(2)若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由线面垂直判定定理证得平面PBD，再运用线面平行的判定定理证得平面PBC，再运用线面平行的性质定理证得，进而证得结果.（2）过点B作，由面面垂直的性质证得平面PDE，进而求得，取BD的中点O，连接OP，再由线面垂直的性质证得，进而由线面垂直的判定定理证得平面BCED，则以D为坐标原点建系，分别计算平面PEC与平面PBD的法向量，代入面面夹角的计算公式即可.【详解】（1）证明：因为，所以.因为D，E分别是边AB，AC的中点，所以，所以，.又BD，平面PBD，，所以平面PBD.因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又平面PDE，平面平面，所以，所以平面PBD.（2）如图，过点B作，垂足为F.由（1）知平面平面PBD，又平面平面，平面，所以平面PDE，所以点B到平面PDE的距离即为BF的长，即.在中，，所以.又，所以是边长为2的等边三角形.取BD的中点O，连接OP，则，.由（1）知，平面PBD，又平面PBD，所以.又，BD，平面BCED，所以平面BCED.以D为坐标原点，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点D与OP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，.设平面PEC的法向量为，则令，得，，所以是平面PEC的一个法向量.又是平面PBD的一个法向量，所以，所以平面PEC与平面PBD夹角的余弦值为.10．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱中，为的中点，，.(1)证明：；(2)若，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)。