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高考数学二轮复习提升培优专题29立体几何大题综合(解析版).doc

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    • 专题29 立体几何大题综合 (新高考通用)1.(2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习)如图,在以为顶点,母线长为的圆锥中,底面圆的直径长为2,是圆所在平面内一点,且是圆的切线,连接交圆于点,连接、.(1)求证:平面平面.(2)当二面角的大小为时,求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)四棱锥的体积为.【分析】(1)由圆锥的几何性质推得平面平面,根据面面垂直的性质及线面垂直的性质,可得,再由面面垂直的判定定理,即可得证;(2)由平面平面,,知平面,从而有,,故,进而得,由和棱锥的体积公式,得解.【详解】(1)证明:是圆的切线,,由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心,∴平面,又平面,∴平面平面,平面平面,平面,平面,,,,则,,又,、平面,平面,平面,平面平面.(2),且为的中点,,平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,,,为二面角的平面角,即,,在中,,,,四棱锥的体积.2.(2023·广东汕头·统考一模)如图,在多面体中,四边形与均为直角梯形,,,平面,,.(1)已知点为上一点,且,求证:与平面不平行;(2)已知直线与平面所成角的正弦值为,求该多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量及直线的方向向量,即可证明;(2)设且,利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值,即可求出参数的值,再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】(1)证明:因为平面,平面,所以、,又,如图建立空间直角坐标系,则、、、、,所以,,,设平面的法向量为,则,令,则,,所以,因为,且不存在使得,即与不共线,所以与平面不平行且不垂直.(2)解:设且,则,所以,直线与平面所成角的正弦值为,,化简得,解得或(舍去),因为,平面,所以平面,又平面,平面,所以,,又,,所以,,平面,所以平面,又,所以,,所以,所以,即多面体的体积为.3.(2023·广东梅州·统考一模)如图,在边长为4的正三角形中,为边的中点,过作于.把沿翻折至的位置,连接、.(1)为边的一点,若,求证:平面;(2)当四面体的体积取得最大值时,求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由线面平行判定定理证明平面,平面,根据面面平行判定定理证明平面平面,根据面面平行性质定理证明平面;(2)根据锥体体积公式由条件确定平面,建立空间直角坐标系,求平面与平面的法向量,根据向量夹角公式求法向量的夹角余弦,由此可得结论.【详解】(1)取中点,连接,因为在正三角形中,,又因为,所以,平面,平面,所以平面,又有,且,所以,而平面,平面,所以平面.有,平面,所以平面平面,又平面,因此平面.(2)因为,又因为的面积为定值,所以当到平面的距离最大时,四面体的体积有最大值,因为,,,,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面,当时,平面平面,平面所以平面,即在翻折过程中,点到平面的最大距离是,因此四面体的体积取得最大值时,必有平面.如图,以点为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直接坐标系,易知,,,,,,,为平面的一个法向量,设平面的法向量为,,由,令得:,,所以为平面的一个法向量,.所以平面与平面的夹角(锐角)的余弦值为.4.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知四棱锥的底面是平行四边形,侧棱平面,点在棱上,且,点是在棱上的动点(不为端点).(如图所示)(1)若是棱中点,(i)画出的重心(保留作图痕迹),指出点与线段的关系,并说明理由;(ii)求证:平面;(2)若四边形是正方形,且,当点在何处时,直线与平面所成角的正弦值取最大值.【答案】(1)(i)作图见解析;(ii)证明见解析;(2)点段靠近的三等分处时, 正弦值取最大值为.【分析】(1)(i)根据重心为三角形三边中线的交点可作图;(ii)利用线面平行判定定理证明;(2)利用空间向量的坐标运算,表示出线面夹角的正弦值,即可求最大值.【详解】(1)(i)设与交点为,连接与交于点,因为为中点,为中点,所以与交点为重心,所以,又因为为的边的中线,所以点也为的重心,即重心在上.(ii)连接并延长交于点,连接,因为为重心,所以,又因为,所以,又因为平面,平面,所以平面;(2)因为四边形为正方形,所以,平面,平面,所以,所以以为坐标原点,建立如图所示坐标系,所以设,则设平面的法向量为,,化简得,取则,设直线与平面所成角为,所以,所以当时,即点段靠近的三等分点处时,直线与平面所成角的正弦值取最大值为.5.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)如图,五棱锥中,,,,,,,,,O,H分别是线段的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【分析】(1)由几何关系证,由线线垂直证线面垂直;(2)建立空间直角坐标系如图所示,由向量法求二面角的余弦值,进而可求出正弦值.【详解】(1)∵,,∴AEDC为等腰梯形,∵O,H分别是线段的中点,∴,,又∵,∴,即共线,∵,,∴,,∵,,∴,∵,∴,∴,∴,∵平面,∴平面;(2)建立空间直角坐标系如图所示,则,.设是平面ABP的法向量,则,取,则;设是平面ACP的法向量,则,取,则.∴,则二面角的正弦值为.6.(2023春·江苏南通·高三校考开学考试)如图,在三棱柱中,AC⊥BC,AC=BC=2,,BC1与交于点E,平面平面ABC,,是侧棱上一点.(1)若D为的中点,证明:平面BCD.(2)是否存在点D,使得二面角的正弦值为?若存在,指出点D的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)详见解析(2)存在,为的三等分点处,即或.【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明平面BCD.(2)首先假设存在,使得二面角的正弦值为,建立适当的空间直角坐标系,分别求的两个平面的法向量,即可求得二面角的正弦值为时点D的位置.【详解】(1)取的中点,连接,为的中点,为的中点,,又,,为的中点,且,为的中点,,,四边形为平行四边形,, 面,面,故面,同理面,又面,面且,所以面面,又面,平面BCD(2)连接,面面且面面,又面,又面,,在中,,则,即,则面,分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,设平面的一个法向量为,则即令,则,;设平面的一个法向量为,则即令,则,;所以二面角正弦值为,解得或,所以存在点D,使得二面角的正弦值为,此时,为的三等分点处,即或.7.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)如图,直三棱柱内接于圆柱,,平面平面.(1)证明:为圆柱底面的直径;(2)若M为中点,N为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据面面垂直的性质定理证明平面,继而证明平面,根据线面垂直的性质定理证明,即可证明结论;(2)建立空间直角坐标系,求得相关点坐标,求得平面与平面的法向量,根据空间向量的夹角公式,即可求得答案.【详解】(1)证明:连接,在直三棱柱中,,∴四边形为正方形,∴又平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴又平面,平面,∴.又,,平面,∴平面,又平面,∴,∴为圆柱底面的直径.(2)由已知平面,,∴以为正交基底建立空间直角坐标系,∴,,,,,.∵为,中点,∴,.设平面的一个法向量为.则,又,,∴,取,得,,∴,设平面的一个法向量为.则ï,又,,∴,取,得,.∴,∴,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.8.(2023秋·江苏苏州·高三统考期末)如图1,在长方形ABCD中,已知,,E为CD中点,F为线段EC上(端点E,C除外)的动点,过点D作AF的垂线分别交AF,AB于O,K两点.现将折起,使得(如图2).(1)证明:平面平面;(2)求直线DF与平面所成角的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)先证平面,得平面,所以,再证平面,从而得证面面垂直;(2)直线DF与平面所成角为,记,设(),由,得,计算,利用基本不等式得最大值,从而得角的最大值.【详解】(1)因为,,,平面,,所以平面. 因为平面,所以.又因为,,平面,,所以平面. 因为平面,所以平面平面.(2)连结FK,由(1)可知,直线DF与平面所成角为,记.在图1中,因为,所以,又因为,所以.又因为,所以.设(),由,得,解得.在图2中,因为,所以, 所以,当且仅当时等号成立, 又因为,所以的最大值为,即直线DF与平面所成角的最大值为.9.(2023秋·广东揭阳·高三统考期末)如图①,在中,,,,D,E分别是边AB,AC的中点,现将沿着DE折起,使点A到达点P的位置,并连接PB,PC,得到四棱锥,如图②,设平面平面(1)证明:平面PBD;(2)若点B到平面PDE的距离为,求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)先由线面垂直判定定理证得平面PBD,再运用线面平行的判定定理证得平面PBC,再运用线面平行的性质定理证得,进而证得结果.(2)过点B作,由面面垂直的性质证得平面PDE,进而求得,取BD的中点O,连接OP,再由线面垂直的性质证得,进而由线面垂直的判定定理证得平面BCED,则以D为坐标原点建系,分别计算平面PEC与平面PBD的法向量,代入面面夹角的计算公式即可.【详解】(1)证明:因为,所以.因为D,E分别是边AB,AC的中点,所以,所以,.又BD,平面PBD,,所以平面PBD.因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.又平面PDE,平面平面,所以,所以平面PBD.(2)如图,过点B作,垂足为F.由(1)知平面平面PBD,又平面平面,平面,所以平面PDE,所以点B到平面PDE的距离即为BF的长,即.在中,,所以.又,所以是边长为2的等边三角形.取BD的中点O,连接OP,则,.由(1)知,平面PBD,又平面PBD,所以.又,BD,平面BCED,所以平面BCED.以D为坐标原点,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴,且以过点D与OP平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,.设平面PEC的法向量为,则令,得,,所以是平面PEC的一个法向量.又是平面PBD的一个法向量,所以,所以平面PEC与平面PBD夹角的余弦值为.10.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图在三棱柱中,为的中点,,.(1)证明:;(2)若,且满足:______,______(待选条件).从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件,求二面角的正弦值.①三棱柱的体积为;②直线与平面所成的角的正弦值为;③二面角的大小为60°;注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】(1)。

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