B--01--02----集合的概念与运算(1).doc
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集合的概念与运算11)已知A=｛ａ+2， (a+1）2， a２+3ａ+3}，且1∈A,求实数a的值2）已知Ｍ=｛2， ａ, ｂ｝， N=｛2ａ, 2， b２｝,且M=N，求a、b的值．ﻩ解:（1）由题意a+2=1或（ａ+１）2=1或a２+3a+３=1,解得a＝－1或a=-2或ａ=0 据元素的互异性可排除-1，-2．∴a=0.(2)由题意或解得：或或设含有三个实数的集合可表示为｛a， a+d, a+2d}，也可表示为｛a， aq, ａｑ２｝，其中a、ｄ、q∈Ｒ,求常数q．解：依元素的互异性可知，ａ≠0， d≠0， q≠0， q≠±１ 由两集合相等,有（1)或(２） 由(1)得a+２a(q－1)=ａq2,∵a≠０，∴q２—2ｑ＋1=０．∴q＝1（舍去)．由（2）得ａ+2a(q2－1)=aq，∵a≠０， ∴２q２－q—1=0q=１或q=—∵q≠1，∴q=-综上所述，ｑ=-． 3含有三个实数的集合可表示为{ａ， ， 1}，也可表示为{ａ2, a+b, 0},求a20０4＋ｂ200５的值. 解:由集合中元素的确定性,得{a， , 1}=｛ａ2， a＋b， 0｝从而有0∈{ａ, ， 1}∵a≠０, ∴＝0，即b=0。
将b=0代入式①,得｛a, 0, １}＝｛ａ2, a， 0}进而有a2=１, ∴a=±1.当ａ=１时，与集合中元素的互异性不符.∴a=-1时，ｂ＝0故a2004+b20０５=（－1）2０0４=14．设全集U=｛2， 3， a2+2a-3}, Ａ={｜2ａ－1|， 2｝, CUA=｛５｝，求实数a的值. 解：∵CUA=｛5},则A∪（CUＡ)=U∴ 解得 ∴ａ=2． 5．设集合A=｛1， 3， ａ}， B={1, ａ2-a+１},若BＡ，求A∪B．解：由集合元素的互异性，知在A中，a≠1且ａ≠３,在B中,a２—a+１≠1,即ａ≠0,且a≠0.(1)如果a2-a+1=3,即a=-１或ａ＝2.则a=—1时，A∪B＝{1， ３， —１｝;a=２时，A∪Ｂ＝{１, 3, 2｝.(２）如果ａ2－a＋1=a，即a=１,则不符合元素互异性，舍去.(3）如果a≠－１且a≠２且a≠0且a≠1且a≠3,则A∪B=｛1， 3, a, a2-ａ+１｝.6若A=｛2, ４, ａ3-2a2－ａ+７｝， B＝{1， a+1， a２—2ａ+2， —（ａ2-3a-８）, a3+ａ2＋３a+7}，且A∩Ｂ＝{２, 5}，试求实数ａ的值．解：∵A∩B=｛２, ５}，∴a3-2a２－a+7=５，由此求得a＝2或a=±1．当ａ=１时，a2-2a+2=1，与元素的互异性相矛盾，故应舍去a=1.当ａ=－1时,B＝｛1, ０， 5， 2， 4}，与A∩Ｂ=｛2, 5｝相矛盾，故又舍去a=-1．当a=2时,Ａ=｛２， 4, 5}，B＝{1， ３， 2, 5， 25｝,此时，A∩B＝{２， 5｝满足题设.故ａ=2为所求．7．已知集合A=｛（x， y）｜x2＋mx—y＋2＝0}和Ｂ=｛（x， y）|x-y＋1=0, 0≤ｘ≤2}，如果A∩B≠ф,求实数m的取值范围。
解：由消去ｙ，得ｘ2+（m－1)ｘ＋1＝0∵Ａ∩Ｂ=ф，∴方程①在区间［0，2]上至少有一个实数解.由△≥0，得m≤－1，或ｍ≥３． 当m≤—１时，由x1+ｘ２=-(m-1）＞0及ｘ1x２=1〉0知,方程①至少有一个根在区间［0，2]内，满足要求.当m≥3时，由x1+x２=－（m-1）<０及x１x2=1>0知,方程①有两负根,不符合要求综上,ｍ的取值范围是m∈（—∞， —1.8.已知集合1）若，求实数m的取值范围;（2)若Ø，求实数m的取值范围解:.（１)若,则，∴.（2）若ф,∴或，即或9．已知集合＝1）若（）为两个元素的集合,求实数a；（2)(）为含三个元素的集合，求实数a 解：(1)∵（Ａ∪Ｂ)∩C含两个元素 ①直线ax+y＝1和ｘ+ay=１与圆x2+y2＝1各有一个交点且不重合,则满足条件，此时a=0；②直线ax+ｙ＝1和ｘ+ay=1重合,且与圆x2＋ｙ2=1有两个不同的交点,则满足条件，此时a＝1;综上所述，a＝0或a＝1时,（A∪Ｂ）∩C为含两个元素的集合.(２)∵（A∪B）∩C含三个元素显然a≠0，a≠1．直线ax＋y=1和x+ay=1与圆x2+y2＝１必须交于三个点,即两直线有一个交点在圆ｘ2+y２＝1上，且两直线与圆还各有一个交点。
∵直线ax+y=１和ｘ+ay=1关于直线ｙ=x对称，∴三个交点为（0，1),（１，０)，（)或（0，1）,（１,０），(－），此时1０.已知集合A={ｘ｜x2+（a+２)x+1=0， x∈Ｒ｝， R+为正实数集合，若A∩R＋=φ,求a的取值范围．解:由A∩R+=φ知A中的元素为非正数，即方程x2+(a+2）x+1=0没有正数解 解得a≥0．上面这个结果是不完整的,上述的解答只注意到Ａ为非空集合的情形，当A为空集时仍满足A∩Ｒ+＝φ．此时△=(a＋2)２—4<0,解得—4 此时Ｃ={｝或｛－}不符合题意，舍去．(3)若C＝{１， 2｝时,则ｂ=1+2=３,而两根之积恰好为2.综上所述，ａ=2, b＝3或— ∴集合A=｛x|x2－ax+a2-19=0｝,B＝｛x｜ｌog2（ｘ２－5x+8）=1}，C=｛ｘ|ｘ2＋2x-８＝０}，求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立 解 log2(ｘ2－5x+8)=1，由此得x2-５ｘ+８=2,∴B={２,3} 由x2+２ｘ—8=0，∴C=｛2，—4｝.又Ａ∩C=∴2和－4都不是关于x的方程x２—ax+a2-1９＝0的解，而A∩B ，即A∩Ｂ≠,∴3是关于ｘ的方程x2－ax+a2—19=０的解,∴可得a＝5或a=－2 当a=５时,得A＝{2,3｝，∴Ａ∩C=｛2},这与A∩C=不符合,所以a=5(舍去);当a＝－2时，可以求得A=｛3,－5｝,符合A∩C＝，Ａ∩B ,∴ａ=－2 15．函数的定义域为，的定义域为. （1）求； （2)若，求 的取值范围解:（1）２），由,得,则,即，∴.１6．已知全集Ｉ=R， A＝{x｜ｘ2－3x+2≤０}， Ｂ=｛x｜ｘ2-２ax+a≤0， a∈R}，且A∩B＝B，求a的取值范围ﻩ解: ∵Ａ∩B=B，∴ＢA,化简A={x|1≤x≤2｝. 设y=ｘ2—2ａx＋a.（１）当△=(-２a）2-4ａ＜0，即0〈a＜1时,Ｂ=φ，满足BA．(2）当△＝0,即ａ=０或a=1时，若a=0，则y=x２，图象与x轴的交点的横坐标为０，而0［1， 2］，故a=0应舍去。 若a=１，则ｙ＝ｘ2—２ｘ+1=（x-1）2,图象与x轴交点的横坐标为1,1∈[1， 2]，故ａ＝1满足条件．（3）当△>0时，y=x2—2ａx＋a的图象与x轴有两个交点,∵BA，∴方程x2—2ax＋ａ=０的两根位于1、２之间.∴综合（１）（２）（3）得0〈a≤１．１７． 已知（1)求及； (2）若，求解：由,则,或，，或.又由不等式，得, 又由，得，(1）， ，或}，（2）１８．已知不等式的解集为Ｐ （１）若Ｐ≠,求实数a的取值范围；（２)是否存在实数a,使P∩Z=｛6,8}，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(１) ∵，∴，∴，即（4x-6+２ｘ+a+1）（４ｘ－6－2x-a-１）〈0,∴(6x+ａ-5)（2x—a—７）〈０,∴，∴，∴a＞—４.（2)若Ｐ∩Ｚ={６，8}，则,∴∴无解∴不存在满足要求的实数a .19．设关于x的不等式|x—a|＜2 （）的解集为A,不等式的解集为BＩ）求集合A,Ｂ； (IＩ）若，求实数ａ的取值范围解：（I)由不等式|x－a｜<2,则-2〈x-ａ<2，ａ-2＜x ∴Ｂ=｛x｜ａ—2 设A＝｛（x，ｙ）｜y2－ｘ-1=0｝，B=｛（ｘ,ｙ）｜4x２＋2x—2y+5=0｝,Ｃ=｛（x，ｙ)｜y=kx+b}，是否存在k、b∈N,使。
