7-2高等数学同济大学第六版本.doc

习题 721 设 a3ij2k bi2jk 求(1)ab 及 ab (2)(2a)3b 及 a2b (3)a、b 夹角的余弦 解 (1)ab31(1)2(2)(1)3 kjikji ba75121213 (2)(2a)3b 6ab  6318 a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k  (3) 2123 6143 ||||||) ,cos(^bababa2 设 a、b、c 为单位向量 且满足 abc0 求 abbcca  解 因为 abc0 所以(abc)(abc)0 即 aabbcc2ab2ac2ca0 于是  23) 111 (21)(21ccbbaaaccbba3 已知 M1(1 1 2)、M2(3 3 1)和 M3(3 1 3) 求与、同时垂直的单位21MM32MM向量 解    ) 1 , 4 (2,2)1 , 13 , 13 (21MM ) 2 , 2 , 0() 13 , 31 , 33 (32MM  kjikji n4462201423221 MMMM 172161636||n为所求向量 )223 (171)446(1721kjikjie4 设质量为 100kg 的物体从点 M1(3 1 8)沿直线称动到点 M2(1 4 2) 计算重力所作 的功(长度单位为 m 重力方向为 z 轴负方向) 解 F(0 0 1009 8)(0 0 980)   ) 6 , 3 , 2() 82 , 14 , 31 (21MMSWFS(0 0 980)(2 3 6)5880(焦耳) 5 在杠杆上支点 O 的一侧与点 O 的距离为 x1的点 P1处 有一与成角1的力 F11OP作用着 在 O 的另一侧与点 O 的距离为 x2的点 P2处 有一与成角1的力 F1作用着 2OP问1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零 再注意到对力矩正负的规定可得 使杠杆保持平衡的条件为x1|F1|sin1x2|F2|sin20 即 x1|F1|sin1x2|F2|sin2 6 求向量 a(4 3 4)在向量 b(2 2 1)上的投影 解  2) 142324(31) 1 , 2 , 2() 4 , 3 , 4(1221 ||1 ||jPr222 babbbaeaabb7 设 a(3 5 2) b(2 1 4) 问与有怎样的关系 能使得ab 与 z 轴垂直?解 ab(32 5 24) ab 与 z 轴垂 ab k (32 5 24)(0 0 1)0 即240 所以2 当2时 ab 与 z 轴垂直 8 试用向量证明直径所对的圆周角是直角 证明 设 AB 是圆 O 的直径 C 点在圆周上 则  OAOB  ||||OAOC 因为  0||||)()()()(22OAOCOAOCOAOCOBOCOAOCBCAC所以 ∠C90  BCAC9 设已知向量 a2i3jk bij3k 和 ci2j 计算 (1)(ab)c(ac)b (2)(ab)(bc) (3) (ab)c  解 (1)ab21(3)(1)138 ac21(3)(2)8 (ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k  (2)ab3i4j4k bc2i3j3k  kjkji cbba  332443)()((3) kjikji ba 58 311132(ab)c81(5)(2)102 10 已知  求 OAB 的面积  ji 3OA kj 3OB解 根据向量积的几何意义 表示以和为邻边的平行四边形的面积  ||OBOA OA OB于是 OAB 的面积为  ||21OBOAS因为   kjikji 33 310301OBOA 191) 3() 3(||223OBOA所以三角形 OAB 的面积为  1921||21OBOAS12 试用向量证明不等式  ||332211232221232221babababbbaaa其中 a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数 并指出等号成立的条件 解 设 a(a1 a2 a3) b(b1 b2 b3) 则有 || ||) ,cos(|| ||^babababa于是  ||332211232221232221babababbbaaa其中当1 时 即 a 与 b 平行是等号成立 ) ,cos(^ba。