2022年九年级数学一元二次方程.pdf

. . 1 第二章一元二次方程第 1 讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络一元二次方程解法直接开平方法配方法公式法因式分解法分式方程的解法二元二次方程组的解法性质判别式根与系数的关系应用二次三项式的因式分解列方程或方程组解应用题二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解 当0b时， 可两边开平方求得方程的解； 当0b时，方程无实数根2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0； （2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（ 5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式02cbxax，确定 a、b、c 的值； （2）计算acb42的值并判别其符号；（3）若042acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042acb，则方程无实数解。

典型例题】精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 2 （1）67302xx（用因式分解法）解：0)32)(13(xx23，31032或01321xxxx（2）1432xx（用公式法）解：01432xx028)1(34)4(2372，3723723228)4(21xxx（3）030222xx（用配方法）解：15222xx8121)42()42(15)42(222222xxx225，2324114221xxx【经典练习】一、直接开方法（1）()()xx11222（2）bax2)(二、配方法注：（1）223002xx（2） 3412xx二、公式法1. 用求根公式法解下列方程精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 3 ( )12202xx；解：( )2 28102yy；解：( )3 231802xx；解：( )4 3212yy；解：( )5 25102xx；解：( )62 5302xx；解：( )7 34502xx；解：(7) 方程无实数根；( )82432 202xx；解：( ) .9 0 020 030 352xx；解：(9) 先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，()()()10 1233 132xx解：。

三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x25x240；解：；（2）12x2x60；解：；精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 4 （3）x24x1650 解：；（4）2x223x560；解：8，27，0)8)(72(21xxxx；（5）924164122xxx；解：（6）333 32()()xx；解：（7）xx23260()解：；（8）()xx251062；解： (x 2)25(x 2)60，(x 22)(x 23)0，x14，x25；（9）t(t 3)28；解：（9）t23t 280，(t 7)(t 4)0，t17，t24；（10）(x 1)(x 3)15解：x24x315，(x 6)(x 2) 0，x16，x22 2. 用因式分解法解下列方程：（1）(y 1)22y(y 1) 0；解：；（2）(3x 2)24(x 3)2；解：0)3( 2)23)(3( 2)23(xxxx8，54，0)8)(45(21xxxx（3）9(2x3)24(2x5)20；解：3(2x 3)2(2x 5)3(2x3)2(2x 5) 0，219，101，0)192)(110(21xxxx（4）(2y 1)23(2y 1)20。

解：(2y 1)1(2y 1)2 0，三、综合练习 1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x2x10 B. 9x24(3x1) 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 5 C. xx27150D. 3222102xx2. 若 a，b，c 互不相等，则方程 (a2bc2)x22(abc)x 30（ C ） A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根D. 根的情况不确定解析: 因为 4(abc)212(a2b2c2) 4( 2a22b22c22ab2ac2bc) 4(a b)2(bc)2(c a)2 0 3. 若方程m xmx222310()的两个实根的倒数和是S，求： S的取值范围分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0 ，求出 m的取值范围，再用 S的代数式表示 m ，借助 m的取值范围就可求出S的取值范围解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx方程有两个实根32132110且430，且04)32(2221121222mmmmxxxxxxSmmmmm023且432323SSSm3且23SS。

4. 已知关于 x 的方程 x2(2m1)x (m2)20m取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解析: (2m1)24(m2)25(4m3)1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，原方程没有实数根5. 已知关于 x 的方程xkxkk2221210()（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根2）如果 a 是关于 y 的方程yxxk yxkxk2121220()()()的根，其中 xx12，为方程的两个实数根精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 6 求：代数式()114112aaaaaa的值分析：第（ 1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成0122yy，再利用根的定义得到122aa，将代数式化简后，把122aa整体代入即可求出代数式的值1）证明：08484484)12( 4)1( 42222kkkkkkk对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根。

2）解：21，xx是方程的两个实数根12，)1( 222121kkxxkxx1) 1(212)()(22)1( 2222221212121kkkkkkxxkxxkxkxkkkxx方程012为2yya 是方程的根，0122aaaaaaaaaaaa114)11(12，01，0222142)(4)112)(12(14) 1)(1(141)1(12222222aaaaaaaaaaaaaaaaaa注：第（ 2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用6. 已知关于 x 的一元二次方程 axaxc220的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当acac1322，与，时， m4 是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a， m4 总成立，求实数 c 及 m的值解：（ 1）时，3，1当ca原方程化为3，1，则032212xxxx416)3(12m即4m成立当2，2ca时，原方程化为02422xx由022442，可设方程的两根分别为21，xx则22，22121xxxx精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 7 42244)()(21221221xxxxxxm即4m不成立（2）设原方程两个实数根是21，xx则acxxxx2121，2acxxxxxxm444)()(21221221对于任意一个非零的实数a，都有444ac4，004时，0当02mcacc第 2 讲 根的判别式【知识要点】1. 根的判别式：关于 x 的一元二次方程axbxca200()bac24当0时，方程有两个不相等的实根当0时，方程有两个相等的实根当0时，方程无实根【典型例题】1. a ，b，c 是三角形的三条边，求证：关于 x 的方程 b2x2(b2c2a2)x c20 没有实数根分析：此题需证出 0。

已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有a0，b0，c0还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”， “任意两边之差小于第三边” 证明：因为 (b2c2a2)24b2c2 (b2c2a2) 2bc(b2c2a2)2bc (b c)2a2(b c)2a2 (b ca)(b ca)(b ca)(b ca) (要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为 bca，即 bca0，同理 bca0，又 cab，即 bca0又 abc0，所以 (bca)(b ca)(b ca)(b ca) 0所以，原方程没有实数根经典习题】cbacabxxcax、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04)(.12为三边长的三角形是（）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 8 A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 c 为斜边的直角三角形 C. 以 b 为底边的等腰三角形 D. 以 c 为底边的等腰三角形2. 已知关于 x 的一元二次方程xkxk2211410()（1）k 取什么值时，方程有两个实数根。

（2）如果方程的两个实数根xx12，满足|xx12，求 k 的值解：（ 1）032)141( 4)1(22kkk解得23当，23kk时，方程有两个实数根（2）21|xx，分两种情况当211时，得0 xxx，方程有两个相等的实数根23，0k当0，时，得02112xxxxx由根与系数关系，得01k，矛盾23知)1(，由1kk23舍去1kk3. 已知方程xkxk222120()的两根的平方和为11，求 k 的值解：设方程的两根为21，xx则有2，)12(22121kxxkxx112)(11212212221xxxxxx0) 1)(3(0320642114214411)2( 2)12(222222kkkkkkkkkkk94)2( 4)12(1，32221kkkkk精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - . . . 9 ，舍去0时，3当k当0时，1k1k注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根4含有绝对值的一元二次方程（1）. 方程 x|x| 8|x| 40 的实数根的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然 x0 不是方程的根。

当 x0 时，xx8x40x0 的任何实数不可能是方程的根当 x0 时，方程为 x28x40此方程两根之积为 40，可见两根为一正一负又因x0，故负根舍去所以方程只有一个实数根2）. 求方程 x2|2x 1| 40 的实数根解：令012x得21x显然2。