最优化第九章 (06-5).ppt

二、层次分析法对于下面几种情况的优化问题特别适用： 问题中除可计量的量外，还存在不可计量的量时，可用AHP通过对不可计量的量与可计量的量的相对比较，而获得相对的量测； 当优化问题的结构难以事先确定，而在很大程度上取决于决策者的经验时；,第九章 层次分析,各变量不独立，有内部相关性时； 目标与约束，约束与约束之间紧密联系时； 多目标问题；,第九章 层次分析,在用AHP法解决优化问题时，常用的有两种方式： 当模型中涉及不可计量的量时，用AHP法的比例标度来确定目标函数，约束函数的权重（系数） 直接采用AHP模型 AHP法有广泛的应用前景，可以用来决定其它方面的一些问题下面举一个解决优化问题的例子第九章 层次分析,例：最佳食品搭配问题！ 假设某人有3种食品可供选择：肉，面包，蔬菜它们所含营养成分及单价如下表： 食品 维生素A 维生素B2 热量 单价 搭配量 （国际 （毫克/克） （千卡/克） （元/克） 单价/克） 肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 X1 面包 0 0.0006 2.76 0.0012 X2 蔬菜 25.0 0.002 0.25 0.0014 X3,,,,,,,第九章 层次分析,该人体重55公斤，每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2：1.6338 毫克 热量：2050 千卡 问题：应如何搭配食品？（自然的想法 是：使在保证营养的情况下支出最小）,第九章 层次分析,容易建立如下线性规划模型： min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3 s.t. 0.3527 x1+25.0 x37500 0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x31.6338 2.86 x1+2.76 x2+0.25 x32050 x1，x2，x30 利用单纯形法可得解 x*=(0, 689.44, 610.67)T z*<1.67,,,第九章 层次分析,即，不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，每日支出1.67元。

显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑本人对食品的偏好我们可根据偏好加约束: x1140, x2450, x3不限 得到线性规划解： x*=(245.44, 450.00 424.19)T Z*=2.48元,,第九章 层次分析,其次，在这里各营养成分被看成同样重 要，起决定因素的是支出但实际上， 营养价值与支出都需考虑，只是地位 （权重）不同这样无法建立目标函数 下面用层次分析法来处理问题： 层次结构：,第九章 层次分析,每日需求 R,支出 C,营养 N,维生素 A,维生素 B2,维生素 Q,肉 me,面包 br,蔬菜 ve,,,,,,,,,,,,,,第九章 层次分析,对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要 于是： R N C w(2) N 1 3 0.75 C 1/3 1 0.25,,,,max=2 C.I.=0,第九章 层次分析,N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4 Q 1/2 1/2 1 0.2 max=3 C.I.=0,,,,第九章 层次分析,0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.25 0.2 0 0.25 =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T 0 1 最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。

由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一：( 181.818，833.333，714.286 )T 于是得到,,,第九章 层次分析,A B2 Q C(价格) me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057 U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 ve 0.9861 0.4255 0.0426 0.4310 合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T,,,,,第九章 层次分析,设 x1=0.24k, x2=0.23k, x3=0.53k 则 min Z = 0.002338k s.t. 13.3346k 7500 0.0017k 1.6338 1.4537k 2050 k 0 解得：k = 1410.20,,变为,第九章 层次分析,x1=338.45克，x2=324.35克，x3=749.41克 Z=3.30元 满足条件 此时各营养成分含量如下： 维生素A：18804.52国际单位 维生素B2：2.400毫克 热量Q：2050.01千卡 若认为总支出太大，可适当降低第二层中 营养的权重 。

第九章 层次分析,若改为 R N C w(2) N 1 1 0.5 C 1 1 0.5 max=2 C.I.=0,,,,第九章 层次分析,其余不变： 0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.5 = (0.2,0.2,0.1, 0.5)T 0.2, 0.2 0.5 0 1 .0319 .4468 .4872 .1081 0.2 w(4) =U(4)w(3) = .0000 .1277 .4702 .4819 0.2 .9861 .4255 .0426 .4130 0.1 =(0.193, 0.314, 0.493) T,,,,,第九章 层次分析,类似上面可解得：设 x1=0.193k, x2=0.314k, x3=0.493k min Z=0.0021285k 则 s.t. 12.3931k7500 0.0016k1.6338 1.54187k2050 0.193k140, 0.314k450, k0,,、变为,第九章 层次分析,得解 k=1329.56 于是 x1=256.61克， x2=419.48克， x3=655.47克， Z=2.83元 即每日肉256.61克，面包419.48克，蔬 菜655.47克，总支出2.83元,第九章 层次分析,各营养成分含量如下： 维生素A：16479.33国际单位 维生素B2：2.100毫克 热量 Q：2050.01千卡,第九章 层次分析,下图为日支出对于营养权重变化的灵敏度曲线。

它们基本上位于线性规划、的可行解目标值(支出为1.673.80元)范围内10,5,15,,,支出（元）,1.67,,1, 3.80,0.5,0.75,0.25,1,,,,,第九章 层次分析,灵敏度分析： 判断矩阵经常会受到扰动：矩阵的不一致性可看做是一种扰动；决策者做出的决策差异总是存在的(同一决策者，不同时刻，地点对同一问题判断存在差异)；计算中亦带来误差第九章 层次分析,灵敏度分析即指由于求解过程中引入误差，而导致问题解的变化若变化大，则结果一般是靠不住的 灵敏度分析方法：矩阵摄动法,第九章 层次分析,。