初中数学竞赛专题培训：中位线及其应用.doc

初中数学竞赛专题培训　第十四讲 中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例 1 如图 2-53 所示．△ABC 中，AD⊥BC 于 D，E，F， △ABC 的面积．分析 由条件知，EF，EG 分别是三角形 ABD 和三角形 ABC 的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC 的高 AD 及底边 BC 的长．解 由已知，E，F 分别是 AB，BD 的中点，所以，EF 是△ABD 的一条中位线，所以由条件 AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于 E，G 分别是 AB，AC 的中点，所以 EG 是△ABC 的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD 是 BC 上的高，所以例 2 如图 2-54 所示．△ABC 中，∠B，∠C 的平分线 BE，CF 相交于 O，AG⊥BE 于 G，AH⊥CF 于 H．(1)求证：GH∥BC；　　(2)若 AB=9 厘米，AC=14 厘米，BC=18 厘米，求 GH．分析 若延长 AG，设延长线交 BC 于 M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而 G 是 AM 的中点；同样，延长 AH 交 BC 于N，H 是 AN 的中点，从而 GH 就是△AMN 的中位线，所以 GH∥BC，进而，利用△ABC 的三边长可求出 GH 的长度．(1)证 分别延长 AG，AH 交 BC 于 M，N，在△ABM 中，由已知，BG 平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G 是 AM 的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H 是 AN 的中点．所以 GH 是△AMN 的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG 及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9 厘米，AC=CN=14 厘米．又 BC=18 厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C 的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图 2-55所示)，或改为“∠B，∠C 的外角平分线”(如图 2-56 所示)，其余条件不变，那么，结论 GH∥BC 仍然成立．同学们也不妨试证．　　例 3 如图 2-57 所示．P 是矩形 ABCD 内的一点，四边形 BCPQ 是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是 AP，PB，BQ，QA 的中点．求证：A′C′=B′D′．分析 由于 A′，B′，C′，D′分别是四边形 APBQ 的四条边 AP，PB，BQ，QA 的中点，有经验的同学知道 A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与 B′D′则是它的对角线，从而四边形 A′B′C′D′应该是矩形．利用 ABCD 是矩形的条件，不难证明这一点．证 连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ 的中位线．从而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于 ABCD 是矩形，PCBQ 是平行四边形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．从而AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形 A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′． ①说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．例 4 如图 2-58 所示．在四边形 ABCD 中，CD＞AB，E，F 分别是 AC，BD 的中点．求证：分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取 AD 中点．证 取 AD 中点 G，连接 EG，FG，在△ACD 中，EG 是它的中位线(已知 E 是 AC 的中点)，所以同理，由 F，G 分别是 BD 和 AD 的中点，从而，FG 是△ABD 的中位线，所以在△EFG 中，EF＞EG-FG． ③由①，②，③例 5 如图 2-59 所示．梯形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析 本题等价于证明△AED 是直角三角形，其中∠AED=90°．在 E 点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形 AED 的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．证 取梯形另一腰 AD 的中点 F，连接 EF，则 EF 是梯形 ABCD 的中位线，所以因为 AD=AB+CD，所以从而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE 的内角和等于 180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．例 6 如图 2-60 所示．△ABC 外一条直线 l，D，E，F 分别是三边的中点，AA 1，FF 1，DD 1，EE 1都垂直 l 于 A1，F 1，D 1，E 1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析 显然 ADEF 是平行四边形，对角线的交点 O 平分这两条对角线，OO 1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．证 连接 EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以 ADEF 是平行四边形，它的对角线 AE，DF 互相平分，设它们交于 O，作OO1⊥l 于 O1，则 OO1是梯形 AA1E1E 及 FF1D1D 的公共中位线，所以即 AA 1+EE1=FF1+DD1．练习十四1． 已知△ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上一点，AE=2CE，CD，BE 交于 O 点，OE=2 厘米．求 BO 的长．2．已知△ABC 中，BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，AH⊥BD 于 H，AF⊥CE 于 F．若 AB=14 厘米，AC=8 厘米，BC=18 厘米，求 FH的长．　　3．已知在△ABC 中，AB＞AC，AD⊥BC 于 D，E，F，G 分别是 AB，BC，AC 的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．如图 2-61 所示．在四边形 ABCD 中，AD=BC，E，F 分别是 CD，AB 的中点，延长 AD，BC，分别交 FE 的延长线于 H，G．求证：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC 中，AH⊥BC 于 H，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点(如图 2-62 所示)．求证：∠DEF=∠HFE．　　6．如图 2-63 所示．D，E 分别在 AB，AC 上，BD=CE，BE，CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于 P，Q．求证：AP=AQ．7．已知在四边形 ABCD 中，AD＞BC，E，F 分别是 AB，CD。