幂函数中档题(含答案).doc

3.3 幂函数中档题　一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象通过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（　　）A．[2，] B．[2，] C．（0，] D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（　　）A． B． C． D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）A．恒不小于0 B．恒不不小于0 C．等于0 D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中对的的是（　　）A． B．C． D．　二．填空题（共1小题）5．已知幂函数f（x）的图象通过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出如下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中对的结论的序号是　　．　三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范畴．7．已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）有关x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范畴．8．已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）有关x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范畴．9．．已知幂函数的图象有关y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范畴．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试拟定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的体现式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象有关y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值范畴．14．已知幂函数y=f（x）通过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解有关x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=xa和对数函数g（x）=logax，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并阐明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值范畴．16．已知幂函数（m∈Z）的图象有关y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解有关x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范畴．　3.3 幂函数中档题参照答案与试题解析　一．选择题（共4小题）1．（•吉安一模）若幂函数f（x）的图象通过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（　　）A．[2，] B．[2，] C．（0，] D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）获得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）获得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考察了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考察了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基本题目．　2．（秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（　　）A． B． C． D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，因此f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=xa，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；因此g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考察了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考察了计算能力的问题，是基本题．　3．（秋•九江校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（　　）A．恒不小于0 B．恒不不小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，运用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考察了幂函数的定义与性质的应用问题，也考察了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基本题目．　4．（•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中对的的是（　　）A． B．C． D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，辨别大小，即可找出选项．【解答】解：由于函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考察幂函数的性质，数值大小比较，是基本题．　二．填空题（共1小题）5．（春•厦门校级期末）已知幂函数f（x）的图象通过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出如下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中对的结论的序号是　②③　．【分析】运用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数不小于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③对的．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），因此α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）内单调递增，因此当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②对的；又由于，分别表达直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率不小于直线OQ的斜率，故＞，因此③对的．答案②③【点评】本题考察运用待定系数法求幂函数的解析式、考察幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．　三．解答题（共13小题）6．（春•宜春校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范畴．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到有关k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值范畴为[0，1]【点评】本题重要考察了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基本题．　7．（春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）有关x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值范畴．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，运用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值范畴以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值范畴．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’因此0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并。