2022年2022年勾股定理专题复习.docx

精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载杰出训练教案专用同学姓名 授课时间： 授课科目：数学教学课题 勾股定理学问点解析（二）重点.难点 能精确证明勾股定理,并能将以敏捷运用；老师姓名 年级： 初二 课型:复习课一.作业检查作业完成情形：优□ 良□ 中□ 差□二.课前回忆对上次家庭作业进行检查并评讲三.学问整理学问点 1.勾股定理（1）勾股定理 ： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；假如用 a, b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边 （即： a2+b 2＝ c2）留意： ○1 勾股定理揭示的为直角三角形三边关系的定理,只适用于直角三角形； ○2 应用勾股定理时,要留意确定那条边为直角三角形的最长边,也就为斜边,在 Rt△ABC 中,斜边未必肯定为 c,当∠ A=90 时, a2＝ b2 + c2 ；当∠ B=90 时, b2＝a2 + c2例 1．（1）如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,∠ C=90、AC=5, BC=12,求 AB 的长；（2）如图 2 所示,在 Rt△ABC 中,∠ C=90、AB=25,AC=20,求 BC 的长（3）在 Rt△ABC 中、AC=3,BC=4,求 AB 2 的值 AC B图 1C AB图 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载学问点 2.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法许多,可以用测量运算,可以用代数式的变形,可以用几何证明,也可以用面积（拼图）证明,其中拼图证明为最常见的一种方法；思路：D C①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 HE GF②依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 b a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常见方法如下：方法一： 4S S S, 4 1 ab2〔b a〕A c B2c , 化简可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正方形 EFGH证．正方形 ABCD2b aabcc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．cb c2a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1 ab c22222ab c a b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载大正方形面积为 S〔a b〕2a2 2ab b2所以 a2 b c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问点 3.直角三角形的判别条件（1）假如三角形的三边长啊 a, b, c,满意 a2+b 2＝ c2 足,那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）留意： ○1 在判别一个三角式为不为直角三角形时, a2+b 2 为否等于 c2 时需通过运算说明,不能直接写成 a2+b 2＝ c2；○2 验证一个三角形为不为直角三角形的方法为： （较小边长） +〔较长边长 〕=（最大边长）时 , 此三角形为直角三角形；否就,此三角形不为直角三角形 .例 1. 五根小木棒,其长度分别为 7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的 为（ ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载例 2. 在△ABC 中, a=m 2-n 2,b=2mn , c=m2 +n2,其中 m,n 为正整数,且 m＞n、试判定△ABC 为不为直角三角形；D CHE GFb aA c Bb aabcccb caa b学问点 4.勾股数满意 a2+b 2＝ c2 的三个正整数,称为勾股数；常见的勾股数有 ：○1 3、4、5 ○2 6、8、10 ○3 8、15、17 ○4 7、24、25 ○5 5、12、13 ○6 9、12、15 ○7 9、40、41例 1． 判定以下各组数为不为勾股数（1）3、4、7 （ 2） 5、12、13 （3） 1/3、1/4、1/5 〔4〕3、-4、5四.典型例题题型一.应用勾股定理建立方程【例 １】如图,△ABC 中, AB=13, BC=14,AC=15,求BC 边上的高 AD ．精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载【变式1】直角三角形周长为 12cm ,斜边长为 5cm ,求直角三角形的面积；【变式 2】四边形 ABCD 中,∠B=90 ,AB=3 ,BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边形 ABCD 的面积；题型二.勾股定理在折叠问题中的应用例 1.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm , BC=8cm ,现将直角边 AC 沿直线AD 折叠,使 AC 恰好落在斜边 AB 上,且点 C 与点 E 重合,求 CD 的长；【变式 1】如下列图,折叠矩形的一边 AD ,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 AB=8cm ,BC=10cm , 求 EF 的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载【变式 2】在矩形纸片 ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,按如图方式折叠,使点 B与点D重合,折痕为EF ．求DE 的长；【变式 3】如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB ＝10 cm ,BC ＝6 cm ,E 为 BC 上的一点．将矩形纸片沿着 AE 折叠,点 B 恰好落在边 DC 的点 G 处,求 BE 的长【变式 4】在矩形纸片 ABCD 中,AB=3 ,BC=6 ,沿 EF 折叠后, 点 C 落在 AB 边上的点 P 处,点 D 落在点 Q 处, AD 与 PQ 相交于点 H,∠BPE=30 ,（1）BE 的长为 , QF 的长为 ；（2）四边形 PEFH 的面积为 ；题型三.确定几何体上的最短路线例1. 如下列图,有一圆柱形油罐,现要以油罐底部的一点 A 围绕油罐建子（图中虚线） ,并且要正好建到 A 点正上方的油罐顶部的 B 点,已知油罐高 AB=5 米,底面的周长为的 12 米,就梯 子 最 短 长 度 为 米精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载【变式 1】一只蚂蚁从长为 4cm .宽为 3 cm ,高为 5 cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点,那么它所行的最短路线的长为 cm；【变式 2】如图,在笔直的铁路上 A.B 两点相距 25km , C.D 为两村庄, DA=10km ,CB=15km , DA ⊥AB 于 A,CB ⊥AB 于 B,现要在 AB 上建一个中转站 E,使得 C.D 两村到 E 站的距离相等,求 E 应建在距 A 多远处？题型四.勾股定理及逆命题有关的几何证明例 1.在四边形 ABCD 中,∠C为直角, AB=13、BC=3、CD=4、AD=12 证明： AD⊥ BD精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载【变式 1】CD 为△ABC 中 AB 边上的高,且 CD 2 =ADDB ,试说明∠ACB=90【变式 2】△ABC 三边的长为 a、b、 c ,依据以下条件判定△ ABC 的外形（1）a2 +b2 +c2+200=12a+16b+20c ；（2）a3 -a2b+ab 2 -ac 2+bc2 -b3=0【变式 3】如图△ABC 中,∠BAC=90、AB=AC、 P 为 BC 上任意一点,求证： BP 2 +CP2 =AP 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载题型五.勾股定理与旋转例 1.在等腰△RtABC 中,∠CAB=90 , P 为三角形内一点,且 PA=1、PB=3、PC= 7求：∠CPA 的大小？【变式 1】如图,在等腰△ABC 中,∠ACB=90 ,D.E 为斜边 AB 上的点,且∠DCE=45 ；求证：DE 2=AD 2+BE 2；【变式 2】已知,如图△ABC 中,∠ACB=90 ,AC=BC , P 为△ABC 内一点,且 PA=3 ,PB=1 , PC=2 ,求∠BPC精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载五.对应训练一.挑选题（每道题 3 分,共 30 分）1. 以下各组中,不能构成直角三角形的为 （ ）.（ A） 9, 12,15 （B）15, 32,39 （C）16, 30,32 （D ）9,40,412. 如图 1,直角三角形 ABC 的周长为 24,且 AB： BC=5：3,就 AC= （ ）.（ A） 6 （B）8 （C） 10 （ D ）123. 已知：如图 2,以 Rt △ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．如斜边 AB＝ 3、就图中阴影部分的面积为 （ ）.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（ A） 9 （B）3 （C） 49（D ） 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 如图 3,在△ ABC中, AD⊥ BC与 D ,AB=17, BD=15, DC=6 ,就 AC 的长为（ ） .（ A） 11 （ B）10 （ C） 9 （D）8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如三角形三边长为 a.b.c,且满意等式 〔ab〕 2 c 22ab,就此三角形为（ ） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （ C）等腰直角三角形 （D）直角三角形6. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需 2 秒,假如将直角三角形的边长扩大 1 倍,那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）.（ A） 6 秒 （B）5 秒 （ C）4 秒 （D ）3 秒二.填空题（每道题 3 分,共 30 分）11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都为勾股数）12. 如图 6（1）.（2）中,（1）正方形 A 的面积为 .（2）斜边 x= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备 欢迎下载。