专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点讲义）（解析版）.docx

专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳【目录】 1 3 3 4 9考点一：集合新定义 9考点二：函数与导数新定义 14考点三：立体几何新定义 22考点四：三角函数新定义 32考点五：平面向量与解三角形新定义 35考点六：数列新定义 40考点七：圆锥曲线新定义 47考点八：概率与统计新定义 57考点九：高等数学背景下新定义 66创新意识与创新应用是新时代的主旋律，也是高中数学教学与学习中需要不断渗透与培养的一种基本精神与能力！借助“新定义”，可以巧妙进行数学知识中的概念类比、公式设置、性质应用、知识拓展与创新应用等的交汇与融合，很好地融入创新意识与创新应用.所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了高中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型考点要求考题统计考情分析集合新定义2018年北京卷第20题，14分【命题预测】2024年九省联考之后，第19题将考查新定义问题现在也有部分地区考试采用该结构考试，比如安徽合肥一中省十联考等预测2024年新高考试卷第19题结构考查新定义问题，压轴题，难度比较大．数列新定义2023年北京卷第21题，15分2022年北京卷第21题，15分2021年北京卷第21题，15分1、代数型新定义问题的常见考查形式（1）概念中的新定义；（2）运算中的新定义；（3）规则的新定义等．2、解决“新定义”问题的方法在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决！1．（2018•北京）设为正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，记，．（Ⅰ）当时，若，1，，，1，，求和的值；（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，，当，相同时，是奇数；当，不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．【解析】，，．（Ⅱ）当时，依题意当，相同时，，为奇数，则，，，中有“3个1和1个0”或“1个1和3个0”，当，不同时，①当，，，中有“3个1和1个0”时，元素为：，1，1，，，1，0，，，0，1，，，1，1，，经验证可知是偶数，符合题意，集合最多有4个元素，1，1，，，1，0，，，0，1，，，1，1，，②当，，，中“1个1和3个0”时，元素为，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，经验证可知是偶数，符合题意，集合最多有4个元素，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，综上，中元素个数的最大值为4．（Ⅲ），0，0，，，0，，，，1，0，，，0，，，0，0，，，此时中有个元素，下证其为满足题意元素最多的集合．对于任意两个不同的元素，，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在有多于个元素，由于，0，0，，与任意元素都有，所以除，0，0，，外至少有个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素．故为满足题意的集合．2．（2023•北京）数列，的项数均为，且，，2，，，，的前项和分别为，，并规定．对于，1，2，，，定义，，1，2，，，其中，表示数集中最大的数．（Ⅰ）若，，，，，，求，，，的值；（Ⅱ）若，且，，2，，，求；（Ⅲ）证明：存在，，使得．【解析】（Ⅰ）列表如下，对比可知，，，．0123213023613301470112（Ⅱ）由题意知且，因为，，，，2，，，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，，又因为，则，即，可得，反证：假设满足的最小正整数为，当时，则；当时，则，则，又因为，则，所以假设不成立，成立，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以，．（Ⅲ）证明：若，设，，根据题意可得且为整数，反证法：假设存在正整数，使得，且（若时，不存在），则，，所以，这与，，相矛盾，所以对任意，，均有，①若存在正整数，使得，即，取，，，使得，②若不存在正整数，使得，因为，，，，且，所以必存在，使得，即，可得，取，，，，使得，若，设，，根据题意可得且为整数，反证法：假设存在正整数，使得，则，，所以，这与，，相矛盾，所以对任意，，均有，①若存在正整数，使得，即，取，，，使得，②若不存在正整数，使得，因为，，，，且，所以必存在，使得，即，可得，取，，，，使得．综上所述，存在，，使得．3．（2022•北京）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．（Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4；（Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：．【解析】（Ⅰ）若，则对于任意的，2，3，4，，，，，，，所以是连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以不是连续可表数列；（Ⅱ）假设的值为3，则，， 最多能表示，，，，，，共6个数字，与是连续可表数列矛盾，故；现构造，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意．故的最小值为4．（Ⅲ）先证明．从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即．若，最多可以表示个正整数，由于为连续可表数列，且，所以其中必有一项为负数．既然5个正整数都不能连续可表的正整数，所以至少要有6个正整数连续可表的正整数，所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，当时，数列1，2，4，5，8，，满足题意，当时，数列1，2，4，5，8，，，，所以符合题意，故．4．（2021•北京）设为实数．若无穷数列满足如下三个性质，则称 为数列：①，且；②，2，；③，，2，；，2，．（Ⅰ）如果数列的前四项为2，，，，那么是否可能为数列？说明理由；（Ⅱ）若数列是数列，求；（Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）数列不可能为数列，理由如下，因为，，，所以，，因为，所以，，所以数列不满足性质③．（Ⅱ）性质①，，；由性质③，，因此或，或，若，由性质②可得，即或，矛盾；若，，由，则，矛盾，因此只能是，，又因为或，所以或．若，则，，，，不满足，舍去；当，则的前四项为0，0，0，1，下面用数学归纳法证明，2，，，当时，经检验命题成立；假设时命题成立．当时，若，则，利用性质③：，，，此时可得，否则，取可得，而由性质②可得，，与矛盾．同理可得，，，，此时可得，，，，此时可得，，，又因为，此时可得，即当时，命题成立．综上可得，；（Ⅲ）令，由性质③可知，，，，，，由于，，，因此数列为数列，由（Ⅱ）可知，若，，2，，；，，因此，此时，，，，，满足题意．考点一：集合新定义【例1】（2024·北京顺义·高三统考期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质．(1)分别判断集合与是否具有性质；(2)若集合具有性质，求的值；(3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合．【解析】（1）集合中的，，所以集合不具有性质，集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质；（2）若集合具有性质，记，则，令，则，从而必有，不妨设，则，且，令，，则，且，且，以下分类讨论：1）当时，若，此时，满足性质；若，舍；若，无解；2）当时，则，注意且，可知无解；经检验符合题意，综上；（3）首先容易知道集合中有0，有正数也有负数，不妨设，其中，，根据题意，且，从而或，1）当时，，并且，，由上可得，并且，综上可知；2）当时，同理可得，据此，当中有包含6个元素，且时，符合条件的集合有5个，分别是，，或.【变式1-1】（2024·北京·高三北京四中校考期末）已知集合，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.例如.(1)若，，求的值及的最大值；(2)从中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；(3)对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由.【解析】（1），，，，所以；，，，最大，则，，所以最大值为.（2）设中的最大值为，由定义，，若存在，，则，，，，进而，，矛盾.于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，，设删去的两个数为，，则，构造，删去，，恰好取得等号.所以的最小值为.（3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下：设，中的一个最大值为，由得于是，，进而考虑，由于，，而于是一定存在不同于，的，使得，进而，于是，取，，即可.【变式1-2】（2024·北京·高三景山学校校考期末）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；(2)若为集合的“相关数”，证明：；(3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值.【解析】（1）当时，，①对于的含有5个元素的子集，因为，所以5不是集合的“相关数”；②的含有6个元素的子集只有，因为，所以6是集合的“相关数”．（2）证明：考察集合的含有个元素的子集，中任意4个元素之和一定不小于，所以一定不是集合的“相关数”；所以当时，一定不是集合的“相关数”，因此若为集合的“相关数”，必有，即若为集合的“相关数”，必有.（3）由（2）得，先将集合的元素分成如下组：，对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，再将集合的元素剔除和后，分成如下组：，对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，这一组与上述三组中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和，所以集合的“相关数”的最小值为.【变式1-3】（2024·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出的所有自邻集；(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若，求证：.【解析】（1）由题意可得，的所有自邻集有：；（2）对于的含5个元素的自邻集，不妨设.因为对于，都有。