等腰三角形与直角三角形.ppt

第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学第3讲讲 等腰三角形与直角三角形 第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学了 解①角平分线与线段垂直平分线的定义与性质 ；②等腰三角形与直角三角形的概念.理 解等腰三角形与直角三角形的性质.掌 握等腰三角形与直角三角形的概念、性质和判定.熟练掌握①应用等腰三角形的性质和判定解决问题；② 勾股定理及逆定理.第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学一、概念1．等腰三角形：有________相等的三角形叫等腰三角形．2．等边三角形：____________的三角形是等边三角形．3．直角三角形：有一个角是________的三角形是直角三角形．两边三边都相等直角友情提示：等边三角形是特殊的等腰三角形． 第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学二、性质质1．等腰三角形的性质(1)两个底角________(2)等腰三角形的______________，______________，______________互相重合，简称“______________”(3)等边三角形的三个内角都________，并且每一个内角都等于________(4)等腰三角形是________对称图形相等顶角平分线 底边上的高线 底边的中线三线合一相等60° 轴第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学2．直角三角形的性质(1)两个锐角________(2)勾股定理：________________________________________________(3)斜边上的中线等于斜边的________(4)30°角所对的直角边等于________互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方一半 斜边的一半第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学三、判定1．等腰三角形的判定(1)有两条边________的三角形是等腰三角形(2)有两个________相等的三角形是等腰三角形2．等边三角形的判定(1)有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形(2)三条________都相等的三角形是等边三角形(3)三个________都相等的三角形是等边三角形相等角60° 边角第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学3．直角三角形的判定(1)有一个角是________的三角形是直角三角形(2)有两角________的三角形是直角三角形(3)如果三角形一边上的________等于这边的一半，则该三角形是直角三角形(4)勾股定理的逆定理：__________________________________________________________________________直角互余中线如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学友情提示勾股定理是直角三角形的性质，即先有直角三角形，再有其两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理是直角三角形的判定，它是由“两边的平方和等于第三边的平方”判定符合这个条件的三角形是直角三角形．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学四、两对对重要的互逆定理1．角平分线上的点到________________________相等；到________________________________________在这个角的平分线上．2．线段垂直平分线上的点到________________________________相等；到一条线段两个端点距离相等的点在__________________________________．这个角的两边的距离 一个角的两边的距离相等的点这条线段的两个端点的距离 这条线段的垂直平分线上第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学1．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°解析：因为50°可作为等腰三角形的顶角或一底角，故选D.D第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学2．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°解析：A、D选项等腰三角形与直角三角形都具有，C选项直角三角形具有但等腰三角形不一定具有，B选项等腰三角形具有而直角三角形不一定具有，故选B.B第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学3．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A．8 B．7 C．4 D．3解析：等腰三角形中已知两边长为 7和3，那么第三边可能是3和7，而根据三角形两边之和大于第三边，3、3、7不能构成三角形，故选B.B第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4cm，则AB＝________.解析：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，CD＝4cm，所以AB＝2CD＝8cm. 8cm第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学5．如图4－3－1，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有________个．3解析：题图中有3个等腰三角形：△ABD、△BCD、△ABC. 6．一个直角三角形两边长分别为3、4，则第三边的长是________．图4－3－1第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学7．如图4－3－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．图4－3－2第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学解：∵Rt△ABC中 ∠C＝90°，∠A＝30° ∴∠ABC＝60° ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠DBC＝30° ∴∠ABD＝∠A ∵AD＝20 ∴BD＝20 ∵在Rt△BDC中 ∠C＝90°，∠DBC＝30°第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学应用等腰三角形的性质时，首先要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边；其次要注意顶角和底角(或顶角的外角和底角的外角)关系，看是否符合三角形内角和定理，当题目指向不明时，一定要采取分类讨论 的思想，这也是近几年中考中的主要考查内容之一，多以选择题、填空题的形式出现．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学【例1】若等腰三角形的一个外角为50°，则它的顶角为________，若将“50°”改为“110°”呢？思路分析：当50°为等腰三角形顶角的外角时，顶角为130°；当50°为等腰三角形底角的外角时，底角为130°，而130°×2＝260°>180°，这不可能，故顶角为130°；而当把“50°”改为“110°”时，两种情况均符合．答案：130° 70°或40°第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学【例2】一个等腰三角形的两条边长分别为4cm和6cm，则它的周长为( )A．12cm B．14cm C．16cm D．14cm或16cm思路分析：当等腰三角形的底边长为 4cm时，它的周长为4＋6＋6＝16cm；当等腰三角形的底边长为 6cm时，它的周长为4＋4＋6＝14cm，故选D.答案：D第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学确定一个三角形的形状为等腰三角形，可利用其判定定理直接证明有两边相等，或证明有两角相等，必要时可添加适当的辅助线利用全等加以证明．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学【例3】(2010·德州)如图4－3－3，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．图4－3－3第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学思路分析：由BE＝CF得BF＝CE，所△ABF≌△DCE，故AB＝DC，判断△OEF的形状可由△ABF≌△DCE知∠AFB＝∠DEC，所以OE＝OF.(1)证明：∵BE＝CFBE＋EF＝CF＋EF即BF＝CE又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C∴△ABF≌△DCE(AAS)∴AB＝DC第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学(2)解：△OEF为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE∴∠AFB＝∠DEC∴OE＝OF∴△OEF为等腰三角形第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学等边三角形是特殊的等腰三角形，其判定常常先证明等腰三角形，再说明有一个角为60°，此外，还可以证明三边相等或三角相等，总之应根据具体情况灵活选择才能快速地解决等边三角形问题．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学【例4】已知，如图4－3－4，点C是线段AB上的任意一点(C点与A、B点不重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.(1)求证：AE＝BD；(2)求证：MN∥AB；(3)若AC＝3cm，CB＝5cm，求MN的长．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学思路分析：(1)利用等边三角形的性质和SAS定理，便可证△ACE≌△DCB，从而AE＝BD.(2)可通过∠MNC＝∠ECB来证．假设∠MNC＝∠ECB.∵∠ECB＝60°，∴∠MNC应为60°，而△CMN应为等边三角形，故只要证△MNC为等边三角形便可．根据等边三角形的判定证MC＝CN，只需证△ACM≌△DCN.第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学(1)证明：∵△ACD和△BCE为等边三角形∴AC＝CD，CE＝CB，且∠ACD＝∠CEB＝60°∴∠ACD＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE即∠ACE＝∠DCB在△ACE和△DCB中AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学(2)证明：∵△ACE≌△DCB∴∠CAM＝∠CDN∵∠ACD＝∠ECB＝60°∴∠DCN＝180°－∠ACD－∠ECB＝60°在△ACM和△DCN中∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN∴△ACM≌△DCN，∴CM＝CN又∵∠MCN＝60°∴△MCN为等边三角形∴∠MNC＝∠ECB＝60°∴MN∥AB第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2，若CD为斜边AB的中线，则CD＝AB，反之，若a、b、c为△ABC的三边，且a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形；若∠A＋∠B＝90°，则△ABC为直角三角形；若CD为△ABC的AB边上的中线，且CD＝AD＝BD，则△ABC为直角三角形．第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学【例5】如图4－3－5，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝12，CD＝3，DA＝4，BC＝13，求S四边形ABCD.第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学第四章 图形的认识与三角形金榜之路金榜之路 · · 数学数学线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，因此，解决有关线段垂直。