(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列习题理.docx

10.7 离散型随机变量及其分布列1 .离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的 变量叫做 ,随机变量常用字母 X, Y, I , Y］等表示.(2)离散型随机变量所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量.2 .离散型随机变量的分布列⑴分布列设离散型随机变量 X可能取的不同值为 xi, X2,…，Xi,…，xn, X取每一个值Xi(i =(2)分布列的性质3.常用的离散型随机变量的分布列18 / 17X10Pp(1)两点分布(又称0—1分布、伯努利分布) 随机变量 X的分布列为(00, i =1, 2, 3,…，n ② pi = 1(2) Cnpkqn k超几何分布Cnpkqn k X〜B(n, p)i =13. (1)1 -pCCN— M⑶袋中有大小相同的 5个球，分别标有1, 2, 3, 4, 5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是( )A. 5 B. 9 C. 10 D. 25解：号码之和可能为 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,共9个.故选B.(2015 •合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量 X去描述1次试验的成功次数,则P(X= 0)等于( )1 1 2A. 0 B- C- D-2 3 3解：X 可能取值为 0 或 1,而 P(X= 1) = 2P(X= 0),且 RX= 1) + P(X= 0) = 1.所以P(X1 一，=0)=-故选 C.3（2015 •山西模拟）从 1, 2, 3, 4, 5中选3个数，用 己表示这3个数中最大的一个，则 E（己）=（ ）A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 6解：由题意知，工 只能取3, 4, 5.则RE=3）=^=：1, P（E=4）=C2=焉 REC3 10 C55 10

而>3+ WX 4+i0X 5=45 故选 B（2014 •浙江）随机变量 E的取值为4 1 …0, 1, 2,若 R 己=0） = . E（己）=1,则以 E）= .5解：设P（己=1） = p,则己的分布列如下：012P15P45—p由 E( E ) = 1,可得 p = 3, D(E ) =(0 -1)2x1+ (1 — 1)2x 3+(2 — 1)2x』= 2.故填2.5 5 5 5 5 5（2015 •上海）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1, 2, 3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量 丁和己2分别表示赌客在一局赌博中 的赌金和奖金，则 E（己1）— E（己2）=（元）.解：赌金的分布列为：E 11234511111P555551日0)=5(1+2+3+4+5) = 3,奖金己2的分布列为:E 21.42.84.25.64321PC2C2C2CS4 3 2J__ C5T2.8 ,日 ”)=1.4><区+ 2.8 Xa+ 4.2X 国+ 5.6 XER 1)— ER 2)= 0.2.故填 0.2.类型一 随机变量的概念与性质(1) 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义．①一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X；②投掷两枚骰子，所得点数之和为 X,所得点数的最大值为 Y.解：①X的可能取值为0, 1, 2.X= 0表示所取的3个球是3个黑球；X= 1表示所取的3个球是1个白球，2个黑球；X= 2表示所取的3个球是2个白球，1个黑球.②X的可能取值为2, 3,…，12, Y的可能取值为1, 2, 3,…，6.若以(i, j )表示先 后投掷的两枚骰子出现的点数，则X= 2 表示(1 , 1);X= 3 表示(1 , 2), (2 , 1);X= 4 表示(1 , 3), (2, 2), (3, 1);X= 12 表示(6 , 6).Y = 1 表示(1 , 1);Y = 2 表示(1 , 2), (2 , 1), (2 , 2);Y = 3 表示(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 1), (3, 2);…Y = 6 表示(1, 6), (2, 6), (3, 6),…，(6, 6), (6, 5),…，(6, 1).C …(2)随机变 量X的概率分布 规律 为P(X= k) = — (1 < k<10, k e N),则k (k+1)P 10, i =1, 2,…，n； pi = 1.③随机变量可能取某i =1一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位” “灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布.设随机变量 七满足P( E = i)2, 3,贝U解：C2 +3=1, C= 38,故填 37类型二求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球.(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数 X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取 5次，求取到白球次数 X的分布列.解：⑴ X= 1 , 2, 3. P(X= 1) = qj R X= 2) = TZ= q >3 A3 3F(X= 3)=A2 1A3 — 3所以X的分布列是X123111P3332 k— 1 1(2) X= 1, 2, 3, 4, 5. P(X= k)= - X-, k=1, 2, 3, 4.3 3R x= 5) = 3 .故X的分布列为X12345P1248-1639278181(3)因为X〜B5, 1 ,所以X的分布列为 RX= k)=Ck1 2 ,其中k=0, 1,3 3 32, 3, 4, 5.【点拨】 求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关 系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率， 确定概率和为 1后写出分布列.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别.一般 地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变 量对应的概率.(2015 •安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直 到检测出2件次品或者检测出 3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用 (单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则P(A) =A2A3 3A2 =10.400.(2) X的可能取值为 200, 300, A2 1RX= 200)=二行R X= 300)=A3+ C203A2A33_10P( X= 400) = 1 — R X= 200) — P( X= 300)_ 1 且=1-10-10=10.故X的分布列为X200300400136P101010日 X =200X 元+ 300X 而+400X —= 350.类型三超几何分布(2015 •天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名.从这8名运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的 4人中恰有2 会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,C2c2+ C2C2解：(1)由已知，有 P(A)=—————:C4名种子选手，且这 2名种子选手来自同一个协求随机变量 X的分布列和数学期望.6=35-故事件A发生的概率为36.35(2)随机变量X的所有可能取值为1, 2,3, 4.RX= k)=CkCa— kca(k=12,3, 4).故随机变量X的分布列为X1234P11437371 14一，、』 1 1 3 3 15故随机变量 X的数学期望E(X) =1x14+2x7+3x7+4x14=-.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆： RX= k)OMOm- Man ，即恰取了 k件次品的概率=次品中取了 k件x正品中取了 n—k件N件产品中任取n件.②当n较小N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替.也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当 n较小而产品总数 N很大时，不放回抽样近似于放回抽样.③超。