2024-2025学年福建省福州市山海联盟协作校高一（下）期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年福建省福州市山海联盟协作校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z满足(1−i)z=2i，则z−的虚部为(    )A. −1 B. 1 C. −i D. i2.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为(    )A. 30 B. 25 C. 40 D. 353.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50,100]内)，将所得数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(    )A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 854.已知m，n是两条不同的直线，α表示平面，且m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bacosC+cacosB=sinA，则△ABC是(    )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为(    )A. 22 B. 2 C. 33 D. 37.已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且CE=2EB，点P是边DC上的一点，则AP⋅EP的最小值为(    )A. 158 B. 178 C. 154 D. 1748.已知△ABC的面积为2 3，B=π3，且sin2A+sin2C=3sinAsinC，则△ABC外接圆的半径为(    )A. 8 33 B. 4 33 C. 8 3 D. 4 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7(x1

12.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|= 3，|b|=4，则(3a+b)⋅b= ______．13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．14.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱DD1的中点，则直线A1E与AC所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足EP⊥A1C，则动点P的轨迹长度是______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)设a∈R，复数z1=a+2i，z2=2a+3+i．(1)若z1⋅z2为纯虚数，求实数a的值；(2)若复数z1是关于x的方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，求m+a的值．16.(本小题15分)已知平面向量a=(2,−3)，b=(3,m)，m∈R．(1)若c=(7,−5)，且c=xa+b，求x和m的值；(2)若a⊥b，求|a+2b|的值；(3)若a与b的夹角为锐角，求m的取值范围．17.(本小题15分)小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为23，小胡每轮答对的概率为12，在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；(2)求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率．18.(本小题17分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ca= 33sinB+cosB．(1)求A；(2)若cosBcosC=−18,b+c= 302，求a；(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′，若a= 32，求△A′B′C′的面积的最大值．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD=AB=2，AD=2 5，PB⊥PD，点E是棱AD上的一点．(1)记平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l//BC；(2)若AE=2ED，求二面角E−PB−D的正弦值；(3)若直线PE与平面PAB所成角的余弦值为 73，求线段PE的长．参考答案1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.BD 10.ACD 11.BCD 12.−2 13.25 14. 105 6 2 15.(1)由题意，z1⋅z2=(a+2i)(2a+3+i)=2a2+3a−2+(5a+6)i，则2a2+3a−2=0，5a+6≠0，解得a=−2或a=12；(2)由题意，(a+2i)2+m(a+2i)+5=0，即a2+ma+1+(4a+2m)i=0，所以a2+ma+1=0，4a+2m=0，解得a=1，m=−2或a=−1，m=2，所以m+a=±1．16.(1)因为c=xa+b，c=x(2,−3)+(3,m)=(2x+3,−3x+m)=(7,−5)，所以2x+3=7,−3x+m=−5,；解得x=2，m=1；(2)若a⊥b，则a⋅b=(2,−3)⋅(3,m)=6−3m=0，解得m=2，所以b=(3,2)，a+2b=(2,−3)+2(3,2)=(8,1)，|a+2b|= 82+12= 65；(3)因为a与b的夹角为锐角，所以a⋅b>0且a，b不同向，即6−3m>0,2m−(−9)≠0,解得m<2且m≠−92；故m的取值范围是(−∞,−92)∪(−92,2)．17.(1)根据题意，设M=“小张在两轮比赛中至少答对1题”，则M−=“小张在两轮比赛中全部答错”，则P(M)=1−P(M−)=1−(1−23)×(1−23)=89；(2)根据题意，Ai=“小张在两轮比赛中答对i题”，Bi=“小胡在两轮比赛中答对i题”，(i=1、2)，C=“小张和小胡答对题目的个数相等”，P(A0)=(1−23)×(1−23)=19，P(A1)=C21×(23)×(1−23)=49，P(A2)=23×23=49，P(B0)=(1−12)×(1−12)=14，P(B1)=C21×(12)×(1−12)=12，P(B2)=12×12=14，故P(C)=P(A0)P(B0)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=19×14+49×12+49×14=1336．18.(1)因为ca= 33sinB+cosB，由正弦定理得sinCsinA= 33sinB+cosB，整理可得sinC−sinAcosB= 33sinAsinB，在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以cosAsinB= 33sinAsinB，又B∈(0,π)，所以sinB>0，可得cosA= 33sinA，即tanA= 3，因为A∈(0,π)，所以A=π3；(2)因为A=π3，所以cos(B+C)=−cosA=−12，即cosBcosC−sinBsinC=−12，又因为cosBcosC=−18，所以sinBsinC=38，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2a 3，所以sinBsinC= 3b2a⋅ 3c2a=3bc4a2=38，所以bc=12a2，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，即a2=( 302)2−3×12a2，解得a= 3；(3)由余弦定理得( 32)2=a2=b2+c2−bc≥bc，即bc≤34，当且仅当b=c时取等号，取AC的中点G，因为AGAB′=b2AB′=cosπ6，所以AB′= 33b，同理可得AC′= 33c，又∠B′AC′=2π3，所以B′C′= ( 33b)2+( 33c)2−2⋅ 33b⋅ 33c⋅cos2π3= 13(b2+c2+bc)= 13(34+2bc)≤ 13×(34+2×34)= 32，所以ΔA′B′C′的面积SΔA′B′C′= 34B′C′2≤ 34×( 32)2=3 316，即ΔA′B′C′面积的最大值为3 316．19.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC//AD，又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC//平面PAD，又平面PAD∩平面PBC=l，BC⊂平面PBC，所以l//BC；(2)分别取BD，PB的中点O，G，连接EO，EG，OG，如图所示，因为PB=PD=2，PB⊥PD，所以BD= PB2+PD2=2 2，又AB=2，AD=2 5，由余弦定理得cos∠ADB=DA2+DB2−AB22DA⋅DB=(2 5)2+(2 2)2−222×2 5×2 2=3 1010，又AE=2ED，所以ED=13DA=2 53，DO=12DB= 2，所以EO= ED2+DO2−2ED⋅DOcos∠EDB= (2 53)2+( 2)2−2×2 53× 2×3 1010= 23，所以ED2=EO2+DO2，所以EO⊥DO，即EO⊥BD，又平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，EO⊂平面ABCD，所以EO⊥平面PBD，又OG，PB⊂平面PBD，所以EO⊥OG，EO⊥PB，因为O，G分别为BD，PB的中点，所以OG=12PD=1，OG//PD，又PB⊥PD，所以PB⊥OG，又OG∩OE=O，OG，OE⊂平面OGE，所以PB⊥平面OGE，又EG⊂平面OGE，所以PB⊥EG，所以∠EGO为二面角E−PB−D的平面角，因为EO⊥OG，EO= 23，OG=。