2024-2025学年广东省广州市南沙东涌中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市南沙东涌中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.数列−15，17，−19，111，…的通项公式可能是an=(    )A. (−1)n3n+2 B. (−1)n−12n+3 C. (−1)n2n+3 D. (−1)n−13n+22.在等差数列an中，a1+a3=6,a4=5，则公差d=(    )A. −2 B. −1 C. 1 D. 23.若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m=(    )A. 12 B. 16 C. 8 D. 204.已知等差数列an的公差d≠0，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列，则d=(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.下列求导运算正确的是(    )A. (lnx)′=1x B. e−x′=e−x C. log2x′=1xln2 D. sinπ3′=cosπ36.已知函数f(x)=lnx−ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围为(    )A. a≥1 B. a>1 C. a≥13 D. a>137.已知曲线y=x2−lnx在点A处的切线与直线x+y−2=0垂直，则点A的横坐标为(    )A. −2 B. −1 C. 2 D. 18.fx是定义在(0,+∞)上的可导函数，且满足xf′x+fx<0，对任意正数a,b，若a

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知Sn是等差数列an的前n项和，a1<0，且S19=S13，则(    )A. 公差d>0 B. a16=0C. S33=0 D. n=16时，Sn最小10.已知函数fx=ex−12x2，下列说法正确的是(    )A. fx在x=0处的切线方程为x−y+1=0B. 32

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知数列an的前n项和为Sn，S4+2S3=−10．(1)若an是等比数列且公比q=−2，求a3；(2)若an是等差数列且a1=−7，求Sn的最小值．16.(本小题15分)在数列an中，a2=5，点an+1,ann∈N∗在直线x−y−2=0上.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，且bn=1Sn−n，求数列bn的前n项和Tn．17.(本小题15分)已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=−2时取得极大值4．(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在区间[−3,1]上的最值．18.(本小题17分)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn是公比为3的等比数列，且Sn=n2,b1=a1．(1)求数列an、bn的通项公式；(2)令cn=an+1bn，求数列cn的前n项和Tn．19.(本小题17分)已知函数fx=12x2−a+2x+2alnx(a∈R).(1)若a>0，讨论函数fx的单调性；(2)设函数gx=−a+2x，若至少存在一个x0∈[e,4]，使得fx0>gx0成立，求实数a的取值范围．参考答案1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B 9.AD 10.ABD 11.ABC 12.0,1 13.8 14.(1, 2) 15.解：(1)设首项为a1，由题意得S4+2S3=−10，且an是等比数列，公比q=−2，故a1(1−(−2)4)1−(−2)+2a1(1−(−2)3)1−(−2)=−10，解得a1=−10，则a3=−10×(−2)2=−40；(2)设首项为a1，公差为d，且an是等差数列，a1=−7，故−28+4(4−1)2d+2×(−21+3(3−1)2d)=−10，解得d=5，故an=−7+5(n−1)=5n−12，Sn=n(5n−12−7)2=52n2−192n，对于函数y=52x2−192x，由二次函数性质得，当x=1910时，函数y取得最小值，因为n为正整数，当n=1时，S1=−7，当n=2时，S2=−9，则当n=2时，Sn取得最小值，此时Sn=S2=−9． 16.解：(1)由题意可知，an+1−an=2，所以数列an是公差d=2的等差数列又a2=a1+d=5，所以a1=3，故an=3+2(n−1)=2n+1(2)Sn=n(2n+4)2=n2+2n，则bn=1Sn−n=1n(n+1)=1n−1n+1故Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 17.解：(1) f′(x)=3x2+2ax ，由题意得 f′(−2)=3×4−4a=0f(−2)=−8+4a+b=4 ，解得 a=3,b=0 ．此时 f(x)=x3+3x2 ， f′(x)=3x2+6x=3x(x+2) ，当 x∈(−∞,−2) 时， f′(x)>0 ，所以 f(x) 在 (−∞,−2) 单调递增，当 x∈(−2,0) 时， f′(x)<0 ，所以 f(x) 在 (−2,0) 单调递减，当 x∈(0,+∞) 时， f′(x)>0 ，所以 f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，所以 f(x) 在 x=−2 时取得极大值．所以 a=3,b=0 ．(2)由(1)可知， f(x) 在 [−3,−2) 单调递增，在 (−2,0) 单调递减，在 (0,1] 单调递增．又因为 f(−3)=0 ， f(−2)=4 ， f(0)=0 ， f(1)=4 ，所以函数 f(x) 在区间 [−3,1] 上的最大值为4，最小值为0． 18.解：(1)因为Sn=n2，所以当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，当n=1时，a1=1，所以an=2n−1，又因为b1=a1=1，数列bn是公比为3的等比数列，所以bn=3n−1．故an=2n−1，bn=3n−1．(2)由(1)可知，cn=an+1bn=2n⋅3n−1，Tn=c1+c2+c3+⋯+cn =2×30+4×31+6×32+⋯+2(n−1)×3n−2+2n×3n−1，①3×Tn=2×31+4×32+6×33+⋯++2(n−1)×3n−1+2n×3n，②由① − ②得：−2×Tn=2×30+ 2×31+2×32+⋯+2×3n−1−2n×3n−2Tn=230+31+32+⋯+3n−1−2n×3n=2×1×1−3n1−3−2n⋅3n，−2Tn=3n−1−2n⋅3n=(1−2n)3n−1，∴Tn=n−12·3n+12． 19.解：(1)f′x=x2−a+2x+2ax=x−2x−ax，x>0．当a=2时，f′x≥0，∴fx在0,+∞上单调递增；当00，得02，由f′x<0，得a2时，由f′x>0，得0a，由f′x<0，得22时，fx在0,2和a,+∞上单调递增，在2,a上单调递减;(2)若至少存在一个x0∈[e,4]，使得f(x0)>g(x0)，则12x2+2alnx>0，在x∈[e,4]上有解，当x∈[e,4]时，lnx⩾1，即2a>−12x2lnx有解，令ℎ(x)=−12x2lnx，∴2a>ℎ(x)min，ℎ′(x)=−xlnx−12x2·1x(lnx)2=−x(lnx−12)(lnx)2<0，∴ℎ(x)在[e,4]上单调递减，ℎ(x)min=ℎ(4)=−12×42ln4=−82ln2=−4ln2，∴2a>−4ln2，即a>−2ln2．∴实数a的取值范围为−2ln2,+∞． 第6页，共6页。