2024-2025学年福建省福州市山海联盟协作校高一（下）期末数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年福建省福州市山海联盟协作校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z满足(1−i)z=2i，则z−的虚部为(    )A. −1 B. 1 C. −i D. i2.某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为(    )A. 30 B. 25 C. 40 D. 353.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50,100]内)，将所得数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(    )A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 854.已知m，n是两条不同的直线，α表示平面，且m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bacosC+cacosB=sinA，则△ABC是(    )A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形6.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为(    )A. 22 B. 2 C. 33 D. 37.已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且CE=2EB，点P是边DC上的一点，则AP⋅EP的最小值为(    )A. 158 B. 178 C. 154 D. 1748.已知△ABC的面积为2 3，B=π3，且sin2A+sin2C=3sinAsinC，则△ABC外接圆的半径为(    )A. 8 33 B. 4 33 C. 8 3 D. 4 3二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7(x1

12.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|= 3，|b|=4，则(3a+b)⋅b= ______．13.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______．14.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱DD1的中点，则直线A1E与AC所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足EP⊥A1C，则动点P的轨迹长度是______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)设a∈R，复数z1=a+2i，z2=2a+3+i．(1)若z1⋅z2为纯虚数，求实数a的值；(2)若复数z1是关于x的方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，求m+a的值．16.(本小题15分)已知平面向量a=(2,−3)，b=(3,m)，m∈R．(1)若c=(7,−5)，且c=xa+b，求x和m的值；(2)若a⊥b，求|a+2b|的值；(3)若a与b的夹角为锐角，求m的取值范围．17.(本小题15分)小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为23，小胡每轮答对的概率为12，在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率；(2)求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率．18.(本小题17分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ca= 33sinB+cosB．(1)求A；(2)若cosBcosC=−18,b+c= 302，求a；(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′，若a= 32，求△A′B′C′的面积的最大值．19.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD=AB=2，AD=2 5，PB⊥PD，点E是棱AD上的一点．(1)记平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l//BC；(2)若AE=2ED，求二面角E−PB−D的正弦值；(3)若直线PE与平面PAB所成角的余弦值为 73，求线段PE的长．答案解析1.【答案】A 【解析】解：由(1−i)z=2i，得z=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，则z−=−1−i的虚部为−1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D 【解析】解：由分层随机抽样的特点可得：15m=6060+80，解得m=35．故选：D．根据分层随机抽样的特点求解即可．本题主要考查分层随机抽样的应用，考查计算能力，属于基础题．3.【答案】D 【解析】解：根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，第一组的频率为0.010×10=0.1，第二组的频率为0.015×10=0.15，第三组的频率为0.020×10=0.2，第四组的频率为0.030×10=0.3，则x在第四组，则有0.1+0.15+0.2+(x−80)×0.03=0.6，解可得x=85．故生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．故选：D．根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，由频率分布直方图分析x所在的组，结合百分位数的定义可得0.1+0.15+0.2+(x−80)×0.03=0.6，解可得答案．本题考查百分位数的计算，涉及频率分布直方图的应用，属于基础题．4.【答案】A 【解析】解：根据题意，已知m⊥α，若n/​/α，必有m⊥n，反之，若m⊥n，则n/​/α或n⊂α，故“n/​/α”是“m⊥n”的充分不必要条件．故选：A．根据题意，由直线与平面垂直的性质分析“n/​/α”和“m⊥n”的关系，综合可得答案．本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：因为bacosC+cacosB=sinA，所以bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，整理得sin(B+C)=sinA=sin2A，因为A∈(0,π)，sinA≠0，可得sinA=1，故A=π2，所以△ABC为直角三角形．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得sinA=1，可求A=π2，即可判断三角形的形状．本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】C 【解析】解：根据题意设圆锥的底面半径为r，则高为 3r，母线长为2r，且圆柱的底面半径为r，设圆柱的高为ℎ，根据圆锥与圆柱的侧面积相等可得：πr⋅2r=2πr⋅ℎ，所以ℎ=r，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为13πr2⋅ 3rπr2⋅r= 33．故选：C．根据圆锥与圆柱的几何性质，即可求解．本题考查圆锥与圆柱的几何性质，属基础题．7.【答案】C 【解析】解：已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且CE=2EB，点P是边DC上的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(3,1)，P(λ,3)，其中0≤λ≤3，则AP⋅EP=(λ,3)⋅(λ−3,2)=λ2−3λ+6=(λ−32)2+154≥154，当且仅当λ=32时取等号，即AP⋅EP的最小值为154．故选：C．先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算及二次函数最值的求法求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题．8.【答案】B 【解析】解：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，所以12acsinB=12ac⋅ 32=2 3，所以ac=8，又sin2A+sin2C=3sinAsinC，由正弦定理得a2+c2=3ac=24，由余弦定理可得b= a2+c2−2accosB= 24−2×8×12=4，所以△ABC外接圆的半径为b2sinB=42× 32=4 33．故选：B．由题意利用三角形的面积公式可求ac=8，由正弦定理得a2+c2=3ac=24，由余弦定理可得b的值，即可得解．本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．9.【答案】BD 【解析】解：对于A，原数据的极差为x7−x1，新数据的极差为y7−y1=4(x7−x1)，因为x7>x1，所以x7−x1>0，所以4(x7−x1)>x7−x1，即新数据的极差不可能与原数据的极差相等，故A错误；对于B，设新数据的平均数为x−，则原数据的平均数为y−=4x−+3，令x−=4x−+3，得x−=−1，所以当新数据的平均数为−1时，新数据的平均数可能与原数据的平均数相等，故B正确；对于C，原数据的中位数为x4，新数据的中位数为y4=4x4+3，当x4=−1时，新数据的中位数与原数据的中位数相等，故C错误；对于D，设原数据的标准差为s，则新数据的标准差为4s，又因为x10，所以4s>s，即新数据的标准差一定比原数据的标准差大，故D正确．故选：BD．根据极差、平均数、中位数和标准差的定义求解．本题主要考查了平均数、极差、中位数和标准差的定义，属于基础题．10.【答案】ACD 【解析】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，又AB=BC=。