2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区杭州第十一中学高二下学期期中考数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年浙江省杭州市第十一中学高二下学期期中考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.直线x+1=0的倾斜角为(    )A. 0 B. π4 C. π2 D. 不存在2.若a,b,c构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是(    )A. a+b，a−b，b B. a−b，a−b+c，−cC. a+2b，a−2b，a+c D. a−2b，4b−2a，a+c3.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(    )A. −2为f(x)的极小值点 B. f(2)为f(x)的极大值C. 在区间(−1,1)上，f(x)是增函数 D. 在区间(−3,−2)上，f(x)是减函数4.某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩(满分150分)X近似服从正态分布N(120,100)，则得分在区间[130,140]内的学生大约有(参考数据：若X～Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.7，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.96)(    )A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人5.从集合1,2,3,4,5中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是(    )A. 25 B. 310 C. 35 D. 7206.如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5，用X表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是(    )A. P(X=2)=14B. P(X=k)≤P(X=3)(k=1,2,3,4,5)C. E(X)=2D. D(X)=17.已知函数f(x)=−x2+8x+alnx在区间(4,+∞)上是减函数，则a的取值范围是(    )A. [0,+∞) B. [−1,+∞) C. (−∞,0] D. (−∞,1]8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程为y=± 3x，过F1且斜率为1的直线l与C在第一象限的交点为P，∠PF1F2的角平分线与线段PF2交于点Q，若PQ=λQF2，则λ的值是(    )A. 4 2−43 B. 2+12 C. 2 2−2 D. 3 2+34二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.等差数列an的前n项和为Sn，S9=9,a3+a9=6，则(    )A. d=2 B. S11=22 C. Sn≥S4 D. a2025=404010.x−2x7的展开式中，下列结论正确的是(    )A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为128C. x项系数为280 D. 所有项的系数之和为−111.已知函数f(x)=x+xlnxlnx−1，则(    )A. ∀x∈0, e，f(x)>0 B. f(x)在e,+∞上单调递增C. f(x)的极大值为1 D. f(x)的极小值为e e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为          ．13.某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是          ．14.若函数f(x)=lnx−mx3+1有2个零点，则m的取值范围是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)数列an满足a2=5,an+1=2an−1．(1)证明：数列an−1是等比数列；(2)若bn=an−1anan+1，证明：数列bn的前n项和Sn<13．16.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC,AC=AA1=2，AB=1,BC= 3，点E为线段AC的中点．(1)求证：AB1/\!/平面BEC1；(2)若∠A1AC=π3，求二面角A−BE−C1的余弦值．17.(本小题15分)同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：  123456甲252127272325乙182525252517假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．(1)估计甲队每局获胜的概率；(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与14的大小18.(本小题17分)抛物线C:y2=2px,(p>0)，点F为焦点，点M，点N是抛物线C上任意不重合的两点.当线段MN为通径时，其长度|MN|=4．(1)求抛物线C及其准线的方程．(2)若直线MN过点A(2,1)，且向量AM+AN=0，求弦长|MN|．(3)若以线段MN为直径的圆过点F，求▵MFN面积的最小值．19.(本小题17分)已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=ax2+x．(1)求函数f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)当x> −1时，f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围；(3)已知n∈N∗，证明：sin1n+1+sin1n+2+⋅⋅⋅+sin12n0⇒m2+n>0，设Mx1,y1,Nx2,y2，则y1+y2=4m,y1y2=−4n，因为以线段MN为直径的圆过点F，所以FM⋅FN=0，即x1−1x2−1+y1y2=0，即my1+n−1my2+n−1+y1y2=0，m2+1y1y2+m(n−1)y1+y2+(n−1)2=0，将y1+y2=4m,y1y2=−4n代入得4m2=n2−6n+1,则有4m2+n=(n−1)2>0，所以n≠1，且n2−6n+1≥0，解得n≥3+2 2或n≤3−2 2．设点F到直线MN的距离为d，所以d=|n−1| 1+m2，|MN|= x1−x22+y1−y22= 1+m2y1−y2= 1。