2024-2025学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集U=R，集合A={x|0

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.数列an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7=5,S7=21，则(    )A. a1=1 B. d=−23 C. a2+a12=10 D. S10=5010.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(    )A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲乙不相邻的排法种数为72种D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有6种11.已知(1−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则下列结论正确的是(    )A. a2=15 B. a1+a2+a3+⋯+a6=0C. a0+a2+a4+a6=64 D. a1+2a2+3a3+⋯+6a6=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知复数z=−2+ii，则z的共轭复数z=          ．13.已知等比数列{an}中，首项a1=2，公比q>1，a2，a3是函数f(x)=13x3−6x2+32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是           ．14.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知函数f(x)=x3+ax2−2x在x=1处取得极值．(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(2)求函数f(x)在区间[−1,2]的最大值与最小值．16.(本小题15分)已知数列an的前n项和Sn=12n2+n．(1)求数列an的通项公式；(2)求数列1an2+an的前n项和为Tn，求证：Tn≥12．17.(本小题15分)如图，在平面四边形ABCD中，，▵ABD是边长为2的正三角形，DC=3，O为AB的中点，将▵AOD沿OD折到▵POD的位置，PC= 13．(1)求证：PO⊥平面OBCD；(2)若点E为线段PC上的动点，且直线BE与平面PDC所成角的正弦值为 155，求PEPC的值．18.(本小题17分)已知函数f(x)=ln(ex)+12ax2+(a+1)x(e为自然对数的底数)．⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；⑵讨论f(x)的单调性；⑶当a<0时，证明f(x)≤−32a−1．19.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是 22，B1，B2分别是E的上、下顶点，且B1(0,1)．(1)求E的方程；(2)已知直线l与E交于M，N两点(M,N异于点B1，B2)，若直线B1M与B1N的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1，证明：直线l过定点；(3)点P在E上且位于y轴左侧，点Q在直线x=1+ 22上，F2为E的右焦点，若PF2=F2Q，且PF2⋅F2Q=0，求▵PF2Q的面积．参考答案1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.AC 10.ABC 11.AD 12.−1−2i 13.1022 14.[32,103) 15.解：(1)f′(x)=3x2+2ax−2，由题意得f′(1)=0，即3+2a−2=0，解得a=−12，故解析式为f(x)=x3−12x2−2x，定义域为R，令f′(x)=3x2−x−2，令f′(x)>0得x>1或x< −23，令f′(x)<0得−230).①当a≥0时，f′(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a<0时，令f′(x)=0，得x=−1a．则当00，此时f(x)在0,−1a上单调递增；当x> −1a时，f′(x)<0，此时f(x)在−1a,+∞上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在区间0,−1a上单调递增，在区间−1a,+∞上单调递减．(3)由(2)知，当a<0时，f(x)在x=−1a处取得最大值，即f(x)max=f−1a=ln−ea+a2×1a2+(a+1)−1a=ln−1a−12a，则f(x)≤−32a−1等价于f(x)max≤−32a−1，即ln−1a−12a≤−32a−1，即ln−1a+1a+1≤0.(※)令t=−1a，则t>0.不妨设g(t)=lnt−t+1(t>0)，所以g′(t)=1t−1=1−tt(t>0).从而，当t∈(0,1)时，g′(t)>0；当t∈(1,+∞)时，g′(t)<0，所以函数g(t)在区间(0,1)上单调递增；在区间(1,+∞)上单调递减．故当t=1时g(t)max=g(1)=0．所以当t>0时，总有g(t)≤g(t)max=0．即当a<0时，不等式(※)总成立，故当a<0时，f(x)≤−32a−1成立． 19.解：(1)依题意有b=1，ca= 22，所以c= 22a，所以a2=b2+c2=1+12a2，解得a2=2，所以椭圆的方程为x22+y2=1．(2)由题意直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，Mx1,y1，Nx2,y2，联立y=kx+mx2+2y2=2，故1+2k2x2+4mkx+2m2−2=0，Δ>0，则x1+x2=−4mk1+2k2,x1x2=2m2−21+2k2，又B1(0,1)，故k1+k2=y1−1x1+y2−1x2=kx1+m−1x1+kx2+m−1x2=1，所以2kx1x2+(m−1)x1+x2x1x2=1，所以(2k−1)x1x2+(m−1)x1+x2=0，所以(2k−1)×2m2−21+2k2+(m−1)×−4mk1+2k2=0，化简得2mk−2k=m2−1，即2k(m−1)=(m−1)(m+1)，当m=1时，直线l过定点B1(0,1)，不合题意；当m≠1时，2k=m+1，直线l的方程为y=kx+2k−1=k(x+2)−1，所以直线l恒过点(−2,−1)．综上，直线l恒过点(−2,−1)．(3)对于椭圆x22+y2=1，其右焦点F2(1,0)，设Px0,y0，因为点P在E上且位于y轴左侧，所以x022+y02=1(x0<0)，又点Q在直线x=1+ 22上，故设Q1+ 22,t，因为PF2=F2Q，所以 x0−12+y02= 222+t2，即t2=x02−2x0+y02+12，又x022+y02=1，所以t2=12x02−2x0+32①，又PF2⋅F2Q=0，所以1−x0,−y0⋅ 22,t=0，所以 221−x0=ty。