（陕西专用）2018高考数学 第二章 第六节 幂函数与二次函数课件 文 北师大版.ppt

第六节 幂函数与二次函数,1.二次函数的解析式,ax2+bx+c,(h,k),2．二次函数的图像与性质,b=0,3.幂函数的概念 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即_____，这 样的函数称为幂函数. 4.幂函数的图像 幂函数 的图像如图：,y=xα,5.幂函数 的性质,性 质,函数,R,R,[0,+∞),{x|x∈R,且x≠0},R,[0,+∞）,R,[0，+∞）,{y|y∈R,且y≠0},奇,奇,非奇非偶,奇,x∈[0,+∞),时，增，x∈,(-∞,0],时，减,增,增,x∈(0,+∞),时减，,x∈(-∞,0),时减,（1，1）,判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 ( ) （2）二次函数y=ax2+bx+c,x∈R，不可能是偶函数.( ) （3）幂函数的图像都经过点(1,1）和点(0,0).( ) （4）当n＞0时，幂函数y=xn在定义域上是增加的.( ),【解析】（1）错误.当 时，二次函数的最值不是 （2）错误.当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c是偶函数. （3）错误.幂函数y=x-1不经过点（0,0）. （4）错误.幂函数y=x2在定义域上不单调. 答案：（1）× (2)× (3)× (4)×,1.已知点 在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式 为( ) (A)f(x)=x2 (B)f(x)=x-2 (C) (D)f(x)=x 【解析】选B.设f(x)=xn,则 即 ∴n=-2,∴f(x)=x-2.,2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5, -3）上( ) (A)先减后增 (B)先增后减 (C)单调递减 (D)单调递增 【解析】选D.∵f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数， ∴2m=0,∴m=0. 则f(x)=-x2+3在（-5,-3）上是增加的.,3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图像，则解 析式中指数k的值依次可以是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则 k11,故选A.,4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减少的，则实数 a的取值范围是_______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2],5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取 值范围是_______. 【解析】当m=0时，f(x)=-10恒成立，符合题意. 当m≠0时，则有 即 ∴-4m0, 综上知-4m≤0. 答案：(-4,0],考向 1 二次函数的图像与性质 【典例1】（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,那么二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像有可能是( ),(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 【思路点拨】（1）先根据条件求出两个根，进而得到对称轴方程，最后可得结论. （2）解答①和②可根据对称轴与区间的关系,结合单调性直接求解；对于③,应先将函数化为分段函数,画出函数图像，再根据图像求单调区间.,【规范解答】（1）选C.因为一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3, 所以两个根为1，3， 所以对应的二次函数其对称轴为x=2. 图像与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0), 故选C.,(2)①当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在［-4,2)上为减少的,在（2,6］上为增加的, ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. ②函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为 ∴要使f(x)在 [-4,6］上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.,③当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 其图像如图所示： 又∵x∈［-4,6］,∴f(|x|)在区间［-4,-1］和［0,1］上为减少的,在区间［-1,0］和［1,6］上为增加的.,【拓展提升】 1.求二次函数最值的类型及解法 （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. （2）二次函数最值问题的解题关键是对称轴与区间的关系,常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.,2.与二次函数单调性有关的问题的解法 根据二次函数的单调性，结合二次函数图像的开口方向及升、降情况对对称轴进行分析、讨论，进而求解.,【变式训练】已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. （1）当a=2,x∈[-2,3]时，求函数f(x)的值域. （2）若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1，求实数a的值. 【解析】（1）当a=2时，f(x)=x2+3x-3 ∴ f(x)max=f(3)=15,∴值域为,(2)对称轴为 ①当 即 时， f(x)max=f(3)=6a+3, ∴6a+3=1,即 满足题意； ②当 即 时， f(x)max=f(-1)=-2a-1, ∴-2a-1=1,即a=-1满足题意. 综上可知 或-1.,考向 2 二次函数的综合应用 【典例2】(1)(2013·南昌模拟)设函数f(x)=x|x|+bx+c，给出下列四个命题： ①当c=0时，y=f(x)是奇函数; ②当b=0,c＞0时，方程f(x)=0只有一个实根; ③函数y=f(x)的图像关于点(0,c)对称； ④方程f(x)=0至多有两个实根， 其中正确的命题为_______.,(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. ①若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出 单调区间. ②在①的条件下，f(x)x+k在区间[-3,-1]上恒成立，试求k的 范围. 【思路点拨】(1)①根据奇函数的定义判断；②把f(x)用分段 函数表示，再求实根；③证明f(-x)=2c-f(x)；④当c=0，b＜0 时，方程有3个根. (2)①根据f(-1)=0及 列方程组求解. ②分离参数，转化为求函数的最值问题.,【规范解答】(1)对于①，当c=0时,f(-x)=-x|-x|-bx= -(x|x|+bx)=-f(x)，故①正确; 对于②， 当x≥0时，x2+c=0无解. 当x＜0时,由-x2+c=0得x2=c. ∴ 故②正确.,对于③,∵f(x)=x|x|+bx+c, ∴x|x|+bx=f(x)-c, ∴f(-x)=-x|-x|-bx+c=-(x|x|+bx)+c =-［f(x)-c］+c=2c-f(x), 故③正确; 对于④，当c=0，b＜0时，f(x)=x|x|+bx. 令f(x)=0得x=0或|x|=-b. ∴x=0或x=b或x=-b,此时方程有3个实根，故④错. 答案：①②③,（2）①由题意知 ∴ ∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2. 单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞). ②f(x)x+k在区间[-3,-1]上恒成立，转化为x2+x+1k在[-3, -1]上恒成立. 设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1]，则g(x)在[-3,-1]上是减少的. ∴g(x)min=g(-1)=1. ∴k1,即k的取值范围为(-∞,1).,【拓展提升】 1.一元二次不等式恒成立问题的两种解法 （1）分离参数法.把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题. （2）不等式组法.借助二次函数的图像性质，列不等式组求解. 2.一元二次方程根的分布问题 解决一元二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图像数形结合来解,一般从以下四个方面分析：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号.,【变式训练】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足10，求实数a的取值范围. 【解析】方法一：当a0时， 由 x∈(1,4)，f(x)0得： 或 或 ∴ 或 或,∴a≥1或 或∅,即 当a0时， 解得a∈∅; 当a=0时，f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意. 综上可得，实数a的取值范围是,方法二：由f(x)0,即ax2-2x+20,x∈(1,4)，得 在（1，4）上恒成立. 令 所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要 即可. 故实数a的取值范围为,考向 3 幂函数及其性质 【典例3】（1）(2013·榆林模拟)幂函数y=f(x)的图像过点（4，2），则幂函数y=f(x)的图像是( ) （2）已知幂函数 的图像关于y轴对称， 且在（0，+∞）上是减少的，求满足 的实数 a的取值范围.,【思路点拨】（1）利用待定系数法先求出函数的解析式，再 根据函数的解析式研究其性质即可得到图像. （2）首先根据单调性求m的范围，其次由图像的对称性确定m 的值，最后根据 的大小，求解关于a的不等式. 【规范解答】（1）选C.设幂函数的解析式为y=xa, ∵幂函数y=f(x)的图像过点（4，2）， ∴2＝4a,解得 ∴ 其定义域为[0,+∞)，且是增加的， 当0x1时，其图像在直线y=x的上方，对照选项，故选C.,（2）∵f(x)在(0,+∞)上是减少的， ∴m2-2m-30,解之得-1m3. 又m∈N+，∴m=1或m=2. 由于f(x)的图像关于y轴对称.∴|m2-2m-3|为偶数， 又当m=2时，|m2-2m-3|为奇数，∴m=2舍去，因此m=1. 又 在[0,+∞)上为增加的， ∴ 等价于0≤a+13-2a, 解之得 故实数a的取值范围是,【互动探究】若将本例(2)条件“关于y轴对称”改为“关于原点对称”，其余不变，则如何求解? 【解析】∵f(x)在(0,+∞)上是减少的, ∴m2-2m-3＜0,∴-1＜m＜3. 又f(x)的图像关于原点对称, ∴|m2-2m-3|为奇数.,又当m=1时，|m2-2m-3|为偶数, ∴m=2. 又∵y=x在R上是增加的, ∴a+1＜3-2a, 解得 则实数a的取值范围是,【拓展提升】幂函数的指数对函数图像的影响 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图像特征:,【变式备选】（1）已知0≤α≤5且α∈Z,若幂函数y=x3-α是R上的偶函数，则α的取值为( ) （A）1 （B）1，3 （C）1，3，5 （D）0，1，2，3 【解析】选A.根据0≤α≤5且α∈Z,得:α=0,1,2,3,4,5. 使函数y=x3-α为偶函数的α的值为1, 则α的取值为1.,（2）若a0，则下列不等式成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选B.∵a0,∴y=xa在(0,+∞)上是减少的,且函数值大 于零， ∴ 故选B.,【满分指导】二次函数综合题的规范解答 【典例】（12分）（2013·渭南模拟）设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. （1）若f(0)≥1,求a的取值范围. （2）求f(x）的最小值.,【思路点拨】,【规范解答】（1）∵f(0)=-a|-a|≥1, ∴-a0,即a0.①…………………………………………。