专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳 (人教A版2019必修第二册)（解析版）.docx

专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类 目录热点题型归纳 1【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 1【题型二】 面面垂直 6【题型三】 线线垂直 10【题型四】 垂直应用1：线面角 13【题型五】垂直应用2：二面角 17【题型六】 翻折中的垂直 21【题型七】 垂直探索型 26【题型八】垂直应用3：角度综合 31二最新模考题型 37【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直例1】已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.(1)求证A1C⊥平面EBD；(2)求二面角B1—BE—A1的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；（2）由平面，又，则，进而可得是二面角的平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.(1)证明：平面，，又，，平面，，又平面，，且，，平面，，又，A1C⊥平面EBD；(2)解：平面，又，是二面角的平面角，在中，，在中，，.【例2】如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为矩形，分别为的中点，段上，且满足，过和点的平面交于，交于.(1)证明：；(2)证明：平面；(3)若，且，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)【分析】（1）由平面//平面得到两条交线平行即可；（2）通过和证明面即可证明平面；（3）作出四棱锥的高，求出底面面积，利用体积公式计算即可.(1)四棱柱中，平面//平面，设过和的平面为，由题可知面，面， //(2)由（1）得////，连接,为菱形，,为等边三角形，为中点，，又为矩形，，   分别为中点，所以//，，                  ，面，面(3)面 ，由（2）知面，面面，面面，过做交于，面， 在等边中，，，,,在中，，，   由（2）得面，面,，四边形的高为，，.【例3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点.(1)证明：底面；(2)若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值.【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证；（2）由题可得，进而可得，即得.(1)∵，平面底面ABCD，∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD，∴平面，平面，∴PD，又，∴，，∴底面；(2)设，M到底面ABCD的距离为，∵三棱锥的体积是四棱锥体积的，∴，又，，∴，故，又，所以.【例4】如图，正方体中，点，分别为棱，的中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证；（2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证.(1)由正方体的性质，可得，平面，∴，又，∴平面；(2)设，连接，则∴，∴四边形BFEG为平行四边形，∴EF∥GB，又平面，平面，∴平面【题型二】 面面垂直证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线（及其平行线）【例1】如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；(2)解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.【例2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. (1)求证：平面；(2)求证：平面平面.甘肃省武威市凉州区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证．(1)如图，连结，则是的中点，又是的中点，∴，又 ∵平面，面，∴平面；(2)∵底面是正方形，∴ ，∵平面，平面，∴ ，又，∴面，又平面，故平面平面.【例3】如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若AA1=2，求二面角的正弦值．天津市红桥区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）取的中点，连接证明，原题即得证；（2）连接,证明平面，原题即得证；（3）取CC1中点M，连接,证明即为二面角的平面角，再解三角形得解.(1)证明：取的中点，连接   ，，，， ∴，．       ∴四边形是平行四边形．   ∴．          .又平面，平面， ∴平面． (2)证明：连接,在菱形中，∵，∴．∴是等边三角形．∴．        ∴．     又平面，∴．       又，平面，     ∴平面．          ∴平面平面．       (3)解：取CC1中点M，连接,则ME//DC1//AB1，所以ME在平面B1AE内.由平面，得平面CDD1C1，∴ME，ED1即为二面角的平面角，在中，，，，所以,. 【例4】如图所示，已知平面ACD，平面ACD，为等边三角形，，F为CD的中点.求证：(1)平面BCE；(2)平面平面CDE.西藏自治区拉萨中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由等边三角形的性质可得，由平面ACD，可得，则由线面垂直的判定可得平面，而∥，所以可得平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论(1)取的中点，连接，因为F为CD的中点，所以∥，，因为平面ACD，平面ACD，所以∥，所以∥，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，(2)因为为等边三角形，F为CD的中点，所以，因为平面ACD，平面ACD，所以，因为，所以平面，因为∥，所以平面，因为平面，所以平面平面【题型三】 线线垂直【例1】如图，三棱柱中，侧面为菱形，．(1)证明：；(2)若，，，求直线与平面所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，连接，证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）分析可知直线与面所成角等于直线与面所成角，证明出，可得出，证明出面，可得出是直线与面所成角．结合三角形全等可求得结果.(1)证明：连接，交于点，连接．因为四边形为菱形，所以，是的中点，        又因为，所以，因为，平面，平面，.(2)解：因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角． 因为，所以， 又因为，，，所以，，所以，即，，，所以面，所以是直线与面所成角．因为，所以，所以直线与面所成角等于，所以直线与面所成角等于．【例2】如图，在三棱锥中，点E，F分别是BD，BC的中点，，求证：(1)EF∥平面ACD；(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由EF∥CD即可证明EF∥平面ACD；（2）由，可证明平面BCD，即可证得.(1)因为点E，F分别是BD，BC的中点，所以EF∥CD，又因为平面ACD，平面ACD，从而EF∥平面ACD．(2)因为点E是BD的中点，且，所以，又因为，平面BCD，平面BCD，，故平面BCD，因为平面BCD，所以【例3】如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可.(1)由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.(2)由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【例4】如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，点是棱的中点.(1)求证：；(2)若，，求三棱锥的体积.（参考公式：锥体体积公式，其中为低面面积，为高.）【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据矩形和线面垂直性质可证得，，从而得到平面，由线面垂直性质可得结论；（2）利用体积桥的方式可知，由此可计算得到结果.(1)四边形为矩形，；平面，平面，；又，平面，平面，平面，.(2)为中点，，由（1）知：平面，.【题型四】 垂直应用1：线面角【例1】如图，矩形ABCD中，，，M为边CD的中点，将沿直线AM翻折成，且，点P为线段BE的中点．(1)求证：平面AME；(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取AE的中点Q，连接QM，QP构造平行四边形可证；（2）取AM的中点O，先证EO垂直于底面，根据（1）将问题转化为求角，然后结合已知可得.(1)证明：取AE的中点Q，连接QM，QP，因为P，Q均为中点，故且，又因为，且，所以，所以四边形MCPQ为平行四边形，故，又平面AME，平面AME故平面AME；(2)取AM的中点O，连接OE，OB，因为AE=ME，所以且．因为，所以，所以在Rt中，，因为，故，又∵，平面AB。