2019高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题练习 理.doc

专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题1．(2018·重庆一中期中)当曲线y＝－与直线kx－y＋2k－4＝0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(　　)A．(0，)　　　　　　　 B．(，]C．(，1] D．(，＋∞)答案　C解析　曲线y＝－表示圆x2＋y2＝4的下半部分，直线kx－y＋2k－4＝0过定点(－2，－4)．由＝2，解得k＝，所以过点(－2，－4)且斜率k＝的直线y＝x－与曲线y＝－相切，如图所示．过点(－2，－4)与点(2，0)的直线的斜率为＝1.所以曲线y＝－与直线kx－y＋2k＝0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(，1]．故选C.2．设抛物线x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则(　　)A．xA＋xB＝2xM B．xA·xB＝xM2C.＋＝ D．以上都不对答案　A解析　由x2＝2py得y＝，所以y′＝，所以直线MA的方程为y＋2p＝(x－xM)，直线MB的方程为y＋2p＝(x－xM)，所以＋2p＝(xA－xM)　①，＋2p＝(xB－xM)　②，由①②可得xA＋xB＝2xM，故选A.3．(2016·浙江，文)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案　(2，8)解析　由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．4．已知圆C的半径为2，圆心在直线y＝－x＋2上，E(1，1)，F(1，－3)，若圆上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，则圆心的横坐标a的取值范围为________．答案　[－3，1]解析　根据题意，可设圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4，设Q(x，y)，由|QF|2－|QE|2＝32，得到(x－1)2＋(y＋3)2－(x－1)2－(y－1)2＝32，得y＝3，故点Q在直线y＝3上，又点Q在圆(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上，所以圆C与直线y＝3必须有公共点．因为圆心的纵坐标为－a＋2，半径为2，所以圆C与直线y＝3有公共点的充分条件是1≤－a＋2≤5，即－3≤a≤1.所以圆心的横坐标a的取值范围是[－3，1]．5．(2018·江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案　(1)＋＝1　(2)存在，最大值为解析　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得c＝1，由|PQ|＝3，可得＝3.又a2－b2＝1，解得a＝2，b＝，故椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0.设△F1MN的内切圆的半径为R.则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.因此，S△F1MN最大，R就最大，△F1MN的内切圆的面积就最大．由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1.由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，则y1＝，y2＝，则S△F1MN＝|F1F2|(y1－y2)＝y1－y2＝.令t＝，t≥1，则S△F1MN＝＝＝.令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)≥0，f(t)在[1，＋∞)上单调递增，则f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤3，且当t＝1，即m＝0时，(S△F1MN)max＝3.∵S△F1MN＝4R，∴Rmax＝，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l的方程为x＝1时，△F1MN内切圆的面积取得最大值π.6．(2018·安徽六安二模)设点P是圆x2＋y2＝4上的任意一点，点D是点P在x轴上的投影，动点M满足 ＝2，过定点Q(0，2)的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点．(1)求动点M的轨迹方程；(2)在y轴上是否存在点E(0，t)，使|EA|＝|EB|？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．答案　(1)＋＝1　(2)存在，t∈(－，0]解析　(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xp，yp)，则点D的坐标为(xp，0)，由 ＝2，得∵点P在圆上，∴x2＋(y)2＝4，即＋＝1，∴点M的轨迹方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，当E与原点重合，即t＝0时，满足|EA|＝|EB|.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入＋＝1，消去y，得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，则由Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，得|k|>.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.∵|EA|＝|EB|，∴(＋)·＝0.又＋＝(x1＋x2，k(x1＋x2)＋4－2t)，＝(x2－x1，k(x2－x1))，∴(x2－x1，k(x2－x1))·(x1＋x2，k(x1＋x2)＋4－2t)＝0，展开化简，得(1＋k2)·(x1＋x2)＋4k－2kt＝0，将x1＋x2＝－代入化简，得t＝－，又|k|>，∴t＝－∈(－，0)．综上，存在符合题意的点E，且实数t的取值范围为(－，0]．7．(2018·贵州贵阳考试)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，准线l与x轴的交点为P，过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A，B.(1)若|AF|＋|BF|＝8，求线段AB的中点Q到准线的距离；(2)E上是否存在一点M，满足＋＝？若存在，求出直线m的斜率；若不存在，请说明理由．答案　(1)4　(2)不存在解析　(1)由抛物线E的方程为y2＝4x，可得F(1，0)，准线l：x＝－1，P(－1，0)．过点A作AA′⊥l，过点B作BB′⊥l，垂足分别为A′，B′.由抛物线的定义得|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，∴由|AF|＋|BF|＝8得|AA′|＋|BB′|＝8.过AB的中点Q作′⊥l，垂足为Q′，故′是直角梯形AA′B′B的中位线，∴|′|＝＝＝4，即线段AB的中点Q到准线的距离为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则＋＝(x1＋1，y1)＋(x2＋1，y2)＝(x1＋x2＋2，y1＋y2)＝(x＋1，y)＝，故即设直线m的方程为y＝k(x＋1)，联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16－16k2>0，x1＋x2＝.∴＝x－1，∴x＝.∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2k＝k·＋2k＝.∴y＝.∴M(，)．∵点M在抛物线上，∴()2＝4·，即＝－4，此方程无解．∴不存在满足条件的点M.8．(2018·吉林普通中学第一次调研)如图，已知椭圆E：＋＝1(00，所以x1＋x2＝，x1x2＝.从而·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－2λ－3.所以当λ＝2时，－2λ－3＝－7，即·＋λ·＝－7为定值．当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.此时·＋λ·＝·＋2·＝－3－4＝－7.故存在常数λ＝2，使得·＋λ·为定值－7.1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，O是坐标原点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则使得△POF是直角三角形的点P共有(　　)A．0个 B．2个C．4个 D．6个答案　B解析　当∠OFP为直角时，作出图形如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′，则△OFP，△OFP′都是直角三角形．显然∠POF不可能为直角．若∠OPF＝90°，易知F(，0)，设P(，y)，可得＝(，y)，＝(－，y)，∴·＝(－)＋y2＝＋.∵>0，>0，∴·>0，∴cos∠OPF>0，∴∠OPF为锐角，不可能为直角．综上，使得△POF是直角三角形的点P有且有2个．2．(2018·江苏盐城中学摸底)命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．答案　内角平分线　a解析　∵F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，∴点F2关于∠F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上，|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a(椭圆长轴长)，又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|＝a.不妨设点P在双曲线右支上，当过F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，点F2关于∠F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF1上，|F1Q|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OM是△F2F1Q的中位线，故|OM|＝a.3．(2018·海南海口三模)已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P为椭圆C上任意一点，且·的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2 )若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．答案　(1)＋y2＝1　(2)略解析　(1)设P(x，y)，则有＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)，·＝x2＋y2－c2＝＋1－c2，x∈[－a，a]，由·的最小值为0，得1－c2＝0，∴c＝1，a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程分别为y＝kx＋m，y＝kx＋n，把l1的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2＋4mkx＋2m2－2＝0.∵直线l1与椭圆C相切，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，化简得m2＝1＋2k2，同理，n2＝1＋2k2，∴m2＝n2.若m＝n，则l1，l2重合，不合题意，∴m＝－n.设在x轴上存在点B(t，0)，点B到直线l1，l2的距离之积为1，则·＝1，即|k2t2－m2|＝k2＋1，把1＋2k2＝m2代。