高一数学人教版2019必修一上学期同步课堂 充分条件与必要条件（基础知识基本题型）含解析.docx

1.4充分条件与必要条件（基础知识+基本题型）知识点一 充分条件与必要条件1． 命题“若，则”经过推理证明，当断定是真命题时，就说由可以推出，记作，读作“ 推出”；当断定是假命题时，就说由推不出，记作，读作“推不出”．2． 充分条件与必要条件的定义拓展（1）是的充分条件是指“成立可充分保证成立”，但是没有成立，也可能成立．（2）是的必要条件是指“要使成立，必须要有成立”，或者说“若不成立，则一定不成立”，但即使有成立，也未必会成立．（3）从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：：若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件若，则，互为充分条件和必要条件若，且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件（4）在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意与对结果的影响是不一样的．知识点二 充要条件1．充要条件的定义一般地，如果既有，又有，就记作．此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件．2．互为充要条件的定义若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同，因为这两个命题的条件与结论不同．3．充要条件的等价说法“是的充要条件”又常说成“当且仅当”或“与等价”提示（1）判断充分条件与必要条件时，要与原命题和其逆命题的关系结合起来，具体判断方法如下：条件与结论的关系结论，但是的充分不必要条件，但是的必要不充分条件，且，即是的充要条件，且是的既不充分也不必要条件（2）灵活利用集合关系判断充分条件与必要条件，可使问题变得易于理解．知识点三 充要条件的探求与证明证明是的充要条件，分两步：（1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；（2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出．综上可得，是的充要条件．提示（1）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，那么也可以直接求出充要条件．（2）充要条件的证明充分性的证明和必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①若是的充要条件，则由证的是充分性，由证的是必要性．②若的充要条件是，则由证的是必要性，由证的是充分性．考点一 充分条件与必要条件的判断例1．下列各题中，是的什么条件？（在“充分条件不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）（1）：，：；（2）对于实数，，：，：或；解：（1）．所以是的充要条件．（2）或，但是，或．所以是的充分不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法（1）定义法：（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．（3）逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若，则是的必要条件，是的充分条件；若，且，则是的必要不充分条件；若，则与互为充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件．（4）集合法：写出集合，及，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．考点二 充分、必要条件的传递性例2．已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么：（1）是的什么条件？ （2）是的什么条件？ （3）是的什么条件？分析：按，，，的关系画出用“”与“”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．解：，，，的关系如图1．2-2所示．（1）由关系图，知，且，所以是的充要条件．（2）因为，，所以是的充要条件．（3）由关系图，知，但，所以是的必要不充分条件．总结：（1）充分条件、充要条件具有传递性：若，；若，，则．（2）对于较复杂的关系，常用“，，”等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．考点三 充要条件的证明例3．已知，求证：的充要条件是．证明：必要性：因为，即，所以． 所以必要性成立．充分性：因为，即， 所以．又因为，所以且，从而．所以，即．所以充分性成立．故原命题成立．考点四 充要条件的探求例4．已知关于的方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件．分析：一元二次方程有两个实数根等价于判别式，从相应的二次函数的图象上看，两根均大于等价于对称轴在的右侧，并且．解：令，由的图象（如图1．2-3），知方程原方程有两个大于的实数根等价于， 即，解得．因为以上过程每一步都是等价的， 所以是使方程有两个大于的实数根的充要条件．考点五 充分条件、必要条件及充要条件的综合考例5．已知：关于的不等式，：．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．分析：可借助集合间的关系进行判断，设不等式，的解集分别为，，因为是的充分不必要条件，所以．解析：由题意，知． 当时，，符号题意；当时，．因为当，即时，，，所以要使，应有，解得综上知，实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司。