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概率论第二版第1、2章习题解答 第1章 随机事务与概率 习 题 1.22．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：〔1〕第一次抽得正品且其次次抽得次品的概率；〔2〕抽得正品和次品各一件的概率．解 设A={第一次抽得正品且其次次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，那么11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C101?C1013961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C101?C1013963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种状况，即所求事务的概率为111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．确定某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，那么P(A)?0.55，P(B)?0.65，)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有 P(A)?P(B?2P(，A B11P(AB)?[P(A)?P(B)]?(0.55?0.65)?0.4，33即同时订两种报的住户占百分之四十．5．从0~9十个数字中任取三个不同的数字，求：三个数字中不含0或5 的概率．解 设A={不含数字0}，B={不含数字5}，那么所求概率为P(A?B)．333C9C9C814P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?3?3?3?．C10C10C10156．10把钥匙中有3把能翻开一把锁，现任取两把，求能翻开锁的概率． 解 设A={任取两把钥匙，能翻开锁}，利用对立事务，有2C778P(A)?1?P(A)?1?2?1??．C1015157．一盒中有10只蓝色球， 5只红色球，现一个个的全部取出．求第一个取出的是蓝色球，最终一个取出的也是蓝色球的概率．解 设A={第一个取出的是蓝色球，最终一个取出的也是蓝色球}，那么1131C10A13C910?9?13!3P(A)???． 15A1515!78．把12枚硬币随意投入三只盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率． 解 设A={第一只盒子中没有硬币}，那么212?2?P(A)?12???．3?3?9．把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中，每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的．求第一个盒子恰有2个球的概率．解 设A={第一个盒子中恰有2个球}，那么2C7?35P(A)??0.311． 741210．从5副不同的手套中随意取4只手套，求其中至少有两只手套配成1副的概率．解 设A={至少有两只手套配成1副 }，那么1111C54?C2?C2?C2?C213． P(A)?1?P(A)?1??4C102112112C5C4CC2?2C513或 P(A)??． 4C102111．一副没有王牌的扑克牌共52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算以下事务的概率：〔1〕四张牌花色各异；〔2〕四张牌中只有两种花色；〔3〕四张牌中有三种花色．解 设A={四张牌花色各异}，B={四张牌中只有两种花色}，C={四张牌中有三种花色}，那么1111C13?C13?C13?C13P(A)??0.105 5， 4C52222113C4(C13?C13?C2?C13?C13)P(B)??0.2101 6， 4C5231211C4?C3?C13?C13?C13P(C)??0.584 3． 4C5212．掷三枚匀称的骰子，确定它们出现的点数各不一样，求其中有一枚骰子的点数为4的概率．解 设A={其中有一枚骰子的点数为4 }，那么111C3CC43?5?41P(A)?15??． 11C6C5C46?5?4213．一间宿舍内住有8位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率．解 设A={至少有2个人的生日在同一个月份}，那么 8C12?8!P(A)?1?P(A)?1??0.954．12814．四个人参与聚会，由于下雨他们各带一把雨伞．聚会完毕时每人各取走一把雨伞，求他们都没拿到自己雨伞的概率．解 设Ai={第i个人拿到自己的雨伞 }，B={四个人都没有拿到自己的雨伞 }，那么P(B)?P(A1A2A3A4)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A?A4)?1?[1?1113??]?． 2!3!4!815．有四个人等可能的被安排到六个房间中的任一间中．求：〔1〕四个人都安排到不同房间的概率；〔2〕有三个人安排到同一房间的概率．解 设A={四个人安排到不同房间}，B={四个人中有三个人安排到同一房间}，那么4C6?4!5P(A)??，6418311C4?C6?C55P(B)??． 465416．一袋中有n个黑球和2个白球，现从袋中随机取球，每次取一球，求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率．解 设A={第k次和第k+1次都取到到黑球}，那么11Cn?Cnn(n?1)?1?n!． P(A)??(n?2)!(n?2)(n?1)17．n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 设A={甲、乙两人相邻而坐}，那么P(A)?2(n?2)!2?．(n?1)!(n?1)18．6个人各带一把铁锹参与植树，休息时铁锹放在一起，休息后每人任取一把铁锹接着劳动，求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率．解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 }，B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 }，那么P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)?1?1111191??????0.632． 2!3!4!5!6!14419．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的随意时间到达，设两船停靠泊位的时间分别须要1小时与2小时，求一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船须要等待的概率．解 设x,y分别为甲，乙两船到达码头的时间，设A={一艘轮船停靠泊位时，另一艘轮船须要等待}．故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}， A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”， 令 D?{(x,y)(≤x≤y，?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }那么样本空间的面积 S??24?24?5， 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5，22那么 P(A)?SD?0.12．0 7 S?20．平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面随意投掷一枚长为l(l?d)的针，求针与平行线相交的概率．解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离，针与其所夹角为?，那么?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??，事务A={针与平行线相交}发生的等2?? A?B,B?A?BA，p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94． 〔1〕P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n；n?2n?2n?2〔2〕P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062；〔2〕P{至少两台不能出厂}11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1．9． 5个元件工作独立，每个元件正常工作的概率为p，求以下系统正常工作的概率．〔1〕串联；〔2〕并联；〔3〕桥式连接〔如图1．4．1〕．解 设C为系统正常工作，利用独立性有〔1〕 当元件串联时，需5个元件都正常工作，系统才能正常工作：55P(C)?C5p?p5；〔2〕当元件并联时，5个元件至少有一个正常工作，系统才能正常工作：P(C)?1?(1?p)5；〔3〕记中间的元件为A5，左面两个元件分别为A1,A3，右面两个元件为A2,A4。

当A5正常工作时，相当于A1,A3并联，与A2,A4并联电路再串联而得；当A5失效时，相当于A1,A2串联，与A3,A4串联电路进展并联而得．那么P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5)．P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2； P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2；故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)2 ?2p5?5p4?2p3?2p．10． 确定一条昆虫生产n个卵的概率为pn??nn!e??,(n?0,1,2,?,??0)，设一个虫卵孵化为成虫的概率为p(0?p?1)． 假设卵的孵化是相互独立的，求此昆虫的下一代有k条成虫的概率．解 设Bk={昆虫的下一代有k条成虫}，An={昆虫共生产n个卵}，n?0,1,2,?，留意到独立性，kkn?k当n?k时，P(Bk|An)?0；当n≥k时，P(Bk|An)?Cnpq,(q?1?p)．??P(Bk)??P(An)P(Bk|An)??P(An)P(Bk|An)n?0n?k??n?k??nn!e???n!pkqn?kk!(n?k)!(?p)k??p?(?q)n?k??q(?p)k??p?e?e?e,(k?0,1,2,?)．k!(n?k)!k!n?k第2章 随机变量及其分布 习 题2.11． 设随机变量X的分布列为P(X?k)?k6,(k?1,2,3)，求 P(X?2)；P(X≤3)；P(1.5≤X≤2.5)．解 P(X?2)?P(X?3)?31?； 62?PX(? P(X≤3)123?2P)X?(?3?)??；66621P(1.5≤X≤2.5)?P(X?2)??．63?1)PX?(14． 在10件产品中有3件次品，从中任取2件，用随机变量X表示取到的次品数，试写出X的分布列及分布函数．解 X取值0,1,2，且211C7C7?C3C32177P(X?0)?2?,P(X?1)??,P(X?2)?2?， 2C1015C1015C1015 0 1 ? X的分布列为 ???．7/15 7/15 1/15??分布函数F(x)?P(X≤x)， 当x?0时，P(X≤x)?0，当0≤x?1时，P(X≤x)?P(X?0)?7， 1514， 15当1≤x?2时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?当2≤x时，P(X≤x)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?1，x?0?0?7150≤x?1?故分布函数为 F(x)??．?14151≤x?2?x≥2?1,6． 甲、乙、丙三人参与志愿者效劳，每人在周一至周五任选两天，记X为这三人周五参与志愿效劳的人数，求X的分布列．解 记p?P{一人选中周五参与志愿效劳}，q?P{一人没有选中周五参与112C4C12C43志愿效劳}，那么p?2?,q?2?．C55C55X为这三人周五参与志愿效劳的人数，那么X取值为0，1，2，3．且 327541121232P(X?0)?C30p0q3?()3?pq?C3()()?，P(X?1)?C3，512555125233628330P(X?2)?C32p2q1?C32()2()?pq?()3?，P(X?3)?C3．5512551。