清华阻尼受迫振动实验报告.pdf

[1] 2.11 阻尼振动与受迫振动 一、 实验目的： (1) 观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； (2) 研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观测共振现象； (3) 观测不同阻尼对受迫振动的影响 二、 实验原理 (1) 有粘滞阻尼的阻尼振动 弹簧摆轮振动系统中，摆轮转动惯量为𝐽，粘滞阻尼的阻尼力 矩大小定义为𝛿 𝑒𝜃 𝑒𝑢 ，𝛿为阻尼力矩系数弹簧的劲度系数为𝑘， 忽略弹簧的等效转动惯量，得摆轮转角𝜃的运动方程为 𝐽 𝑒2𝜃 𝑒𝑢2 + 𝛿 𝑒𝜃 𝑒𝑢 + 𝑘𝜃 = 0 记𝜔0= 𝑘/𝐽为无阻尼时自由振动的固有角频率，定义阻尼系 数𝛾 = 𝛿/(2𝐽)，则运动方程化为 𝑒2𝜃 𝑒𝑢2 +2𝛾 𝑒𝜃 𝑒𝑢 +𝜔0 2𝜃 = 0 小阻尼(𝛾2− 𝜔0 2 < 0)时，阻尼振动运动方程的解为 𝜃 𝑢 = 𝜃𝑖exp −𝛾𝑢 cos 𝜔0 2 − 𝛾2𝑢 + 𝜑𝑖 由上式可知，阻尼振动角频率𝜔𝑒= 𝜔0 2 −𝛾2，而周期为 𝑇𝑒= 2𝜋 𝜔0 2−𝛾2。

[2] (2) 周期外力矩作用下的受迫振动 在周期外力矩𝑀cos𝜔𝑢激励下的运动方程和方程的通解为 𝐽 𝑒2𝜃 𝑒𝑢2 + 𝛿 𝑒𝜃 𝑒𝑢 + 𝑘𝜃 = 𝑀cos𝜔𝑢 𝜃 𝑢 = 𝜃𝑖exp −𝛾𝑢 cos 𝜔0 2 − 𝛾2𝑢 + 𝜑𝑖 + 𝜃𝑛cos 𝜔𝑢 − 𝜑 由微分方程理论可知， 此通解是一个阻尼振动与一个频率和激 励源相同的简谐振动的合成当𝑢 ≫ 𝜏之后（𝜏定义为阻尼振动 振幅衰减到𝑓−1所需的时间）就有稳态解 𝜃 𝑢 = 𝜃𝑛cos 𝜔𝑢 − 𝜑 稳态解的振幅和相位差分别为 𝜃𝑛= 𝑀/𝐽 𝜔0 2 −𝜔2 2 +4𝛾2𝜔2 𝜑 = arctan 2𝛾𝜔 𝜔0 2 − 𝜔2 可见摆轮受迫振动总是滞后于激励源支座的振动 (3) 波耳共振仪的受迫振动运动方程和解 波耳共振仪中，偏心轮的偏心半径为𝑠，偏心轮的电机角速度 为𝜔，则弹簧支座的偏转角一阶近似为 𝛽 𝑢 = 𝛽𝑛cos𝜔𝑢 = 𝑠 𝑆 cos𝜔𝑢 可见支座是弹簧运动的激励源。

则弹簧形变的总转角为 𝜃 − 𝛽𝑛cos𝜔𝑢而𝜃正是摆轮相对于固定坐标系的转角则对 于摆轮，它的运动方程为 𝐽 𝑒2𝜃 𝑒𝑢2 + 𝛿 𝑒𝜃 𝑒𝑢 + 𝑘 𝜃 − 𝛽𝑛cos𝜔𝑢 = 0 [3] 即 𝐽 𝑒2𝜃 𝑒𝑢2 + 𝛿 𝑒𝜃 𝑒𝑢 + 𝑘𝜃 = 𝑘𝛽𝑛cos𝜔𝑢 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩𝑘𝛽𝑛cos𝜔𝑢作用时运动 方程在形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为𝑘𝛽𝑛，则对 应的稳态解振幅和相位差分别为 𝜃𝑛= 𝛽𝑛𝜔0 2 𝜔0 2 −𝜔2 2 +4𝛾2𝜔2 𝜑 = arctan 2𝛾𝜔 𝜔0 2 − 𝜔2 则可求得𝜃𝑛在外激励角频率𝜔 = 𝜔0 2 − 2𝛾2时，𝜃𝑛取得极大 值 𝛽𝑛𝜔0 2 2𝛾 𝜔0 2−𝛾2，系统发生共振 (4) 幅频、相频特性曲线 引入参数𝜁 = 𝛾 𝜔0 = 𝛿 2 𝑘𝐽 ，称为阻尼比，它无量纲则振幅𝜃𝑛和 相位差𝜑分别是支座振幅𝛽𝑛、阻尼比𝜁和频率比𝜔/𝜔0的函数 𝜃𝑛= 𝛽𝑛 1− 𝜔 𝜔0 2 2 +4𝜁2 𝜔 𝜔0 2 𝜑 = arctan 2𝜁 𝜔 𝜔0 1 − 𝜔 𝜔0 2 它们随频率比变化的曲线称为幅频、相频特性曲线。

[4] (5) 描述阻尼振动的常用参量 转动惯量𝐽、 劲度系数𝑘、 阻尼力矩系数𝛿、 固有角频率𝜔0= 𝑘 𝐽、 外激励角频率𝜔 常用的还有： 1. 阻尼系数𝛾 = 𝛿/2𝐽 2. 阻尼比𝜁 = 𝛾 𝜔0 = 𝛿 2 𝑘𝐽 3. 阻尼振动周期𝑇𝑒= 2𝜋 𝜔0 2−𝛾2，可以推出𝜔0 = 2𝜋 𝑇𝑒 1−𝜁2 4. 时间常数𝜏 = 2𝐽 𝛿 = 1 𝛾，是阻尼振动振幅衰减到原来𝑓 −1需要 的时间 5. 品质因素𝑅 ≡ 1 2𝜁，是系统共振锐度或频率选择性的量度 6. 对数缩减率Λ = 𝑇𝑒 𝜏 = 2𝜋𝜁 1−𝜁2，定义为衰减阻尼振动中相邻两 循环振幅比的自然对数 三、 实验任务和步骤 (1) 调整波耳共振仪处于工作状态： 打开电源开关， 关断电机和 闪光灯开关，阻尼开关臵于0档，微调光电门使之不与摆轮 和相位差测量盘接触 手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘 上的0位标志线指示0度，即通过连杆和摇杆使摆轮处于平 衡位臵波动摆轮使之偏离平衡位臵150 ~200 ，释放后检 查摆轮的自由摆动情况，振动衰减应该很慢。

(2) 测量最小阻尼时的阻尼比𝜁和固有角频率𝜔0，阻尼系数𝛾 [5] 由阻尼振动的解𝜃 𝑢 = 𝜃𝑖exp −𝛾𝑢 cos 𝜔0 2 − 𝛾2𝑢 + 𝜑𝑖 可知，经过一个周期，振幅𝜃𝑖衰减为𝜃𝑖−1的𝑓−𝛾𝑇𝑒倍，而 𝑇𝑒= 2𝜋 𝜔0 2−𝛾2，可得−𝛾𝑇𝑒 = −2𝜋 𝜁−2− 1 −0.5，如果测量一组 𝜃𝑖的值，则它们的自然对数ln𝜃𝑖是等差级数，级差正是 𝑐 = −𝛾𝑇𝑒，此时𝜁的表达式为 𝜁 = 2𝜋 −𝑐 2 + 1 −1 2 而𝛾 = − 𝑐 𝑇𝑒， 𝜔0 = 2𝜋 𝑇𝑒 1−𝜁2， 求出𝑇𝑒和𝜁后便可求出阻尼系数𝛾 和固有频率𝜔0 实验中直接测量𝜃𝑖和10𝑇𝑒 ， 取自然对数后通过逐差法计 算𝑐，进而计算𝜁，𝑇𝑒则由10𝑇𝑒 求得将开关臵于“摆轮” ， 拨动摆轮使偏离平衡位臵150 ~180 后摆动，由大到小依次 读取显示窗中的振幅值𝜃𝑖周期臵于“10”的位臵，按复位 钮启动周期测量，停止时读取数据（10𝑇𝑒 ） ，并立即再次按 复位钮启动周期测量，记录50组振幅值𝜃𝑖和5组周期值10𝑇𝑒 。

(3) 测量阻尼状态“3”和“4”的振幅，仿照(2)的方法求𝜁，周 期的不确定度取其10−5倍加上其显示值末位变化“1”所对 应的量值 实验中需测量每次振动的周期，周期选择臵于“1”的 [6] 位臵，只需要记录10组𝜃𝑖的值，取自然对数后用逐差法算出 𝑐， 进而算出𝜁和它的不确定度， 𝑅 = 1 2𝜁同样也可求得 同时， 测量10组𝑇𝑒 值，由𝑐 = −𝛾𝑇 𝑒得𝜏 = 1 𝛾 = − 𝑇𝑒 𝑐 (4) 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线 开启电机开关， 开关臵于 “强迫力” ， 周期选择臵于 “1” ， 调节强迫激励周期旋钮改变电机运动角频率𝜔，依然选择阻 尼状态“3”和“4” ，测定幅频、相频数据点每次调节电 机状态后， 摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定， 这 时再记录数据每条曲线至少12个数据点，包括位移共振 点，即𝜑 = 𝜋 2的点，并求： 1. 用此法测定的𝜔0与已有结果的比较 2. 逐点求实测相位差𝜑与理论计算值的相对偏差 四、 注意事项 (1) 为避免剩磁影响， 不要随便拨动阻尼开关， 并且在同一阻尼 状态需测量完阻尼振动和受迫振动再拨动到另一个阻尼状 态。

(2) 相频特性和幅频特性要在振动稳定后测量 (3) 共振点附近随时调节𝜔，避免振幅过大损坏仪器 [7] 六、 数据处理 (1) 最小阻尼时的阻尼比𝜁, 阻尼系数𝛾和固有角频率𝜔0 𝑐 = 1 252 ln 𝜃𝑖+25 𝜃𝑖 25 𝑖=1 = −𝟖.𝟖𝟔 𝟐𝟏−𝟒 𝑡25𝑐 = 6.219 10−3, ∆𝑐 = 1 25 𝑡25𝑐 = 2.5 10−4 由实验原理可知 𝜁 = 2𝜋 𝑐 2 + 1 −1 2 = 𝟐.𝟑𝟒 𝟐𝟏−𝟒 ∆𝜁= 4𝜋 2 𝑐 3 2𝜋 𝑐 2 + 1 −3 2 ∆𝑐 =𝟓 𝟐𝟏−𝟔 ∴ 𝜻 = 𝟐.𝟑𝟒 𝟏.𝟏𝟓 𝟐𝟏−𝟒 又若时间测量的∆仪取它的10−5倍,加上其示值末位变化“1”所对应 的量值，即∆𝑇𝑒= 1 10−3 𝑡，则 𝑇𝑒= 1 50 10𝑇𝑒 𝑖 5 𝑖=1 = 𝟐.𝟓𝟓𝟐 𝒔 𝑡10𝑇𝑒 = 1.54 10−2 𝑡 , ∆仪=1 10−3 𝑡 ∆𝑇𝑒= 1 5 𝑡10𝑇𝑒 2 +∆仪 2 = 3 10−3 𝑡 𝛾 = − 𝑐 𝑇𝑒 = 𝟔.𝟓 𝟐𝟏−𝟒 𝒔−𝟐 ∆𝛾=𝛾 ∆𝑇𝑒 𝑇𝑒 2 + ∆𝑐 𝑐 2 = 𝟑 𝟐𝟏−𝟓 𝒔−𝟐 ∴ 𝜷 = 𝟔.𝟓 𝟏.𝟑 𝟐𝟏−𝟒 𝒔−𝟐 𝜔0= 2𝜋 𝑇𝑒 1−𝜁2 = 𝟓.𝟒𝟕𝟏 𝒔−𝟐 [8] ∆𝜔0= 2𝜋 𝑇𝑒 2 1 − 𝜁2 ∆𝑇𝑒 2 + 2𝜋𝜁 𝑇𝑒 1 − 𝜁2 3 2 ∆𝜁 2 = 𝟘 𝟐𝟏−𝟒 𝒔−𝟐 ∴ 𝝎𝟏= 𝟓.𝟒𝟕𝟏 𝟏.𝟏𝟏𝟘 𝒔−𝟐 (2) 二种阻尼状态的阻尼比𝜁，阻尼系数𝛾。

从(1)的推导过程和实验步骤(3)可得下表 阻尼状态 3 4 𝑐 = 1 52 ln𝜃𝑖+5 5 𝑖=1 −ln𝜃𝑖 −0.1155 −0.160 ∆𝑐 = 1 5 𝑡5𝑐 1.2 10−3 5 10−3 𝜁 = 2𝜋 −𝑐 2 + 1 −1 2 1.84 10−2 2.55 10−2 ∆𝜁= 4𝜋 2 𝑐3 2𝜋 𝑐 2 + 1 −3 2 ∆𝑐 2 10−4 8 10−4 𝜻 (𝟐.𝟗𝟓 𝟏.𝟏𝟑) 𝟐𝟏−𝟑 (𝟑.𝟔𝟔 𝟏.𝟏𝟗) 𝟐𝟏−𝟑 𝑇𝑒= 1 10 𝑇𝑒𝑖 10 𝑖=1 1.445 𝑡 1.443 𝑡 ∆𝑇𝑒= 𝑡𝑇𝑒 2 +∆仪 2 2 10−3 𝑡 2 10−3 𝑡 𝛾 = − 𝑐 𝑇𝑒 7.99 10−2 𝑡−1 1.11 10−1 𝑡−1 ∆𝛾= 𝛾 ∆𝑇𝑒 𝑇𝑒 2 + ∆𝑐 𝑐 2 8 10−4 𝑡−1 3 10−3 𝑡−1 𝜷 𝟖.𝟘𝟘 𝟏.𝟏𝟗 𝟐𝟏−𝟑 𝒔−𝟐 𝟐.𝟐𝟐 𝟏.𝟏𝟒 𝟐𝟏−𝟐 𝒔−𝟐 (3) 二种阻尼状态下受迫振动的幅频特性和相频特性： 对原始记录中两次测量值取平均，并利用 𝜔 𝜔0 = 𝑇0 𝑇 将周期比换 [9] 算成频率比，整理得下表： 1. 阻尼状态“3” ： 𝜔 𝜔0 1.197 1.106 1.092 1.078 1.364 1.051 1.028 1.021 𝜃( ) 17 19 23 。