专题6.3平面向量的数量积及其应用(讲)(原卷版).pdf

1 / 6专题 6.3 平面向量的数量积及其应用【考纲解读与核心素养】1. 理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2. 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 3. 会用坐标表示平面向量的平行与垂直. 4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5. 高考预测：（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现6. 备考重点：（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 【知识清单】一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a 和 b，作OAa，OBb，则 AOB叫做向量a 与 b 的夹角2范围向量夹角的范围是0 180a 与 b 同向时，夹角 0 ；a 与 b 反向时，夹角 180 . 3向量垂直如果向量a 与 b 的夹角是90 ，则 a 与 b 垂直，记作ab. 二、平面向量的数量积1已知两个非零向量a 与 b，则数量 |a|b| cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作a b，即 a b|a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角规定 0 a 0. 当 a b 时， 90 ，这时 a b0. 2a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积2 / 6三、数量积的运算律1交换律：abba. 2分配律： (ab) cacbc.3对R，(ab) (a) ba(b) 三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea. 2abab0. 3aa|a|2，| |=aa a. 4cos |a bab.(为a与b的夹角 ) 5|ab| |a|b|.四、数量积的坐标运算设a (a1，a2) ，b(b1，b2) ，则：1aba1b1a2b2. 2aba1b1a2b20. 3|a| a21a22. 4cos|a ba b1 12222221212a ba baabb.(为a与b的夹角 ) 【典例剖析】高频考点一平面向量数量积的运算【典例 1】 （2018天津高考真题（文）在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A BC D0 【典例 2】 （2018全国高考真题（理）已知向量， 满足，则（）A4 B 3 C2 D0 3 / 6【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1) 定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos(是a与b的夹角 ) (2) 基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解(3) 坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解【变式探究】1 （2020 届浙江嘉兴市高三上期末）如图，ABC中，2AB，3AC，BC边的垂直平分线分别与BC，AC交于点D，E，若P是线段DE上的动点，则PA BC的值为（）A与角A有关，且与点P的位置有关B与角A有关，但与点P的位置无关C与角A无关，但与点P的位置有关D与角A无关，且与点P的位置无关2.（2020 届浙江省杭州市高三上期末（一模) ）在平面凸四边形ABCD中，2AB，点M，N分别是边AD，BC的中点，且32MN，若32MNADBC，则AB CD_. 【总结提升】已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解；对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算高频考点二平面向量数量积的坐标运算【典例 3】（2019天津高考真题 （理） ） 在四边形ABCD中，ADBC，2 3AB，5AD，30A，点E段CB的延长线上，且AEBE，则BD AE_. 【典例 4】(2019成都模拟 ) 已知菱形ABCD边长为 2，B3，点P满足APAB，R，若BDCP3，则的值为 ( ) A.12 B 12 C.13 D 134 / 6【规律方法】1. 已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解设a (a1，a2) ，b(b1，b2) ，则aba1b1a2b2. 2. 通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 【变式探究】1. （ 2020 届浙江绍兴市柯桥区高三上期末）已知正三角形ABC的边长为4，P是平面ABC内一点，且满足3APB，则PB AC的最大值是 _，最小值是 _. 2.（2020 届浙江省绍兴市高三4 月一模）已知平面向量, , ,a b c d，满足| | | 1abc，0a b，|cdb c，则a d的取值范围为_. 高频考点三平面向量的夹角问题【典例 5】（2020全国高考真题 （理） ） 已知向量aba，b满足| 5a，| 6b，6a b， 则 cos,=a ab（）A3135B1935C1735D1935【典例 6】 （2019全国高考真题（理）已知,a b为单位向量，且a b=0，若25cab，则cos,a c_. 【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1) 当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a| ，|b| 或得出它们之间的关系；(2) 若已知a (x1，y1) 与b(x2，y2) ，则 cosa，bx1x2y1y2x21y21x22y22. 提醒：a，b 0 ， 【变式探究】1.（2018四川高考模拟（理） ）已知向量， 满足，若与的夹角为，则m的值为A2 B C1 D2（2020 届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知a，b是不共线的两个向量，若对任意的,m nR，amb5 / 6的最小值为1，12nn ab的最小值为1，若4a b，则a，b所成角的余弦值为_. 高频考点四平面向量的模的问题【典例 7】 （2019浙江高考模拟）已知平面向量,a b不共线，且1a，1a b，记b与2ab的夹角是，则最大时，ab（）A1B2C3D2【典例 8】 （2019浙江高考真题）已知正方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3, 4,5,6)ii取遍时，123456|ABBCCDDAACBD的最小值是 _；最大值是 _. 【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1) 求向量模的常用方法若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a| x2y2. 若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或 |ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解(2) 求向量模的最值( 范围 ) 的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法 (数形结合法 ) ：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决【变式探究】1 （2020浙江高三）已知224 0aba b，则a的取值范围是（）A0 ，1 B112，C1 ，2 D0 ，2 2 （2020浙江镇海中学高三3 月模拟）已知a，b，c是平面内三个单位向量，若ab，则232acabc 的最小值（）A29B293 2C192 3D5 高频考点五平面向量垂直的条件【典例 9】 （2020全国高考真题（文）已知单位向量a，b的夹角为 60，则在下列向量中，与b垂直的6 / 6是（）A2abB 2abC2abD2ab【典例 10】 （2018 年文北京卷）设向量a=（ 1,0） ， b=（-1, m）,若，则 m=_. 【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1) 判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可(2) 已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数【变式探究】1 （ 2018江苏高考真题） 在平面直角坐标系中， 为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为 _2. （浙江省杭州市学军中学2018 年 5月高三模拟） 已知平面向量, 满足，若，则的最小值为 _。