高等数学备课资料：第一章 函数、极限与连续 02 第二节 初等函数.doc

第二节 初等函数分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2★ 基本初等函数★ 复合函数 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 初等函数 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 双曲线和反双曲线函数 ★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题 1-2 ★ 返回内容要点 一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数和反函数的图形关于直线是对称的. 二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、复合函数的概念 四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的. 五、双曲函数和反双曲函数的概念.例题选讲求反函数例1 (E01) 求函数的反函数.解 令则故即解得改变变量的记号，即得到所求反函数: 例2 已知 (符号函数)求的反函数.解 由题设，易得 故所求反函数为 函数的复合例3 (E02) 设 ，，，求 .解 例4 (E03) 将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1) (2) (3) 解 是由四个函数复合而成;(2) 是由三个函数复合而成;是由 六个函数复合在而成.分段函数的复合运算例5 (E04) 设 求解 (1)当时, 或或(2)当时,或或所以例6 设求解法1 令则取代入得 取同样可得所以解法2 因为所以例7 (E05) 某人在2008年欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利、复利和连续复利计算到第5年末，该人应得的本利和.解 按单利计算 （元）；按复利计算 （元）；按连续复利计算 （元）.下表我们比较了利息按单利、复利和连续复利计算从2008年到2012年的本利和， 总额（元） 总额（元） 总额（元）年份 年单利率计 年复利率计 连续利率计2008 1050.00 1050.00 1051.272009 1100.00 1102.50 1105.172010 1150.00 1157.63 1161.832011 1200.00 1215.51 1221.402012 1250.00 1276.28 1284.03我们看到，当按连续复利计算时，投资者赚钱最多；按单利计算时，投资者赚钱最少. 银行为了吸引顾客，可以用额外多出来的钱来做广告——我们按连续复利计算.例8 (E06) 具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可变得较为稳定，这个过程称为衰变. 实验表明某些原子以辐射的方式发射其部分质量，该原子用其剩余物重新组成新元素的原子. 例如，放射性碳—14衰变成氮；镭最终衰变成铅. 若是时刻时放射性物质的数量，在以后任何时刻的数量为数称为放射性物质的衰减率. 对碳—14而言，当用年份来度量时，其衰减率 . 试预测886年后的碳—14所占的百分比.解 设碳—14原子核数量从开始，则886年后的剩余量是即886年后的碳—14中约有89.9%的留存，约有10.1%的碳—14衰减掉了.例9 (E07) 放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间称为半衰期. 事实上，半衰期是一个常数，它只依赖于放射性物质本身，而不依赖于其初始所含放射性核的数量. 证明 设是放射性物质初始所含放射性核的数量，而表示任何以后时刻的放射性核的数量. 我们求出使得此时的放射性核的数量等于初始数量的一半，即从而 的值就是该元素的半衰期. 它只依赖于的值，而与无关.钋—210的放射性半衰期是如此之短以致于不能用年而只能用天来度量. 钋—210的衰减率，所以该元素的半衰期为半衰期 （天）.例10 (E08) 地震的里氏震级是用常用对数来刻画. 以下是它的公式 里氏震级 其中是监听站以微米计的地面运动的幅度，是地震波以秒计的周期，而是由于随离震中的距离增大时地震波减弱所允许的一个经验因子. 对监听站10000千米处的地震来说，. 如果记录的垂直地面运动为而周期，那么震级为 这种强度的地震在其震中附近会造成极大的破坏.课堂练习1．下列函数能否复合为函数, 若能, 写出其解析式、定义域、值域. 2．分析函数 的复合结构.。