中考数学压轴题训练《二次函数与几何模型》.pdf

第 1 页 共 37 页中中考考数数学学复复习习压压轴轴题题专专项项训训练练（二二次次函函数数与与几几何何模模型型综综合合）1.(2019，山东青岛中考），山东青岛中考）（12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ACB90，AB10cm，BC8cm，OD 垂直平分 AC.点 P 从点 B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点 P 作 PEAB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，分别交 AD，OD 于点 F，G.连接 OP，EG.设运动时间为 t（s）（0t5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OEOQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.【解析】【解析】解：（1）在 RtABC 中，ACB90，AB10cm，BC8cm，AC6（cm），OD 垂直平分线段 AC，OCOA3（cm），DOC90，CDAB，BACDCO，DOCACB，DOCBCA，CD5（cm），OD4（cm），PBt，PEAB，易知：PEt，BEt，当点 E 在BAC 的平分线上时，EPAB，ECAC，PEEC，t8t，t4.第 3 页 共 37 页当 t 为 4 秒时，点 E 在BAC 的平分线上.（2）如图，连接 OE，PC.S四边形OPEGSOEG+SOPESOEG+（SOPC+SPCESOEC）（4t）3+3（8t）+（8t）t3（8t）t2+t+16（0t5）.（3）存在.S（t）2+（0t5），t时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为.（4）存在.如图，连接 OQ.OEOQ，EOC+QOC90，QOC+QOG90，EOCQOG，tanEOCtanQOG，整理得：5t266t+1600，解得 t或 10（舍弃）当 t秒时，OEOQ.2.（2019，河北中考），河北中考）如图，若 b 是正数，直线 l：y=b 与 y 轴交于点 A；直线 a：y=xb 与 y 轴交于点 B；抛物线 L：y=x2+bx 的顶点为 C，且 L 与 x 轴右交点为 D（1）若 AB=8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；（2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（3）设 x00，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在 l，a 和 L 上，且 y3是 y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点 D 间的距离；（4）在 L 和 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 b=2019 和 b=2019.5 时“美点”的个数【解析】【解析】（1）当 x=0 吋，y=xb=b，B（0，b）AB=8，而 A（0，b），b（b）=8，b=4，L：y=x2+4x，L 的对称轴 x=2，当 x=2 时，y=x4=2，L 的对称轴与 a 的交点为（2，2）；（2）y=（x2b）224b，L 的顶点 C（2b，24b）点 C 在 l 下方，C 与 l 的距离 b2144b（b2）2+11，点 C 与 l 距离的最大值为 1；（3）y3是 y1，y2的平均数，y1+y2=2y3，b+x0b=2（x02+bx0），解得：x0=0或 x0=b12x00，x0=b12，对于 L，当 y=0 吋，0=x2+bx，即 0=x（xb），解得：x1=0，x2=bb0，右交点 D（b，0），点（x0，0）与点 D 间的距离 b（b12）12（4）当 b=2019 时，抛物线解析式 L：y=x2+2019x，直线解析式 a：y=x2019联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019，可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且1 和 2019 之间（包括1 和2019）共有 2021 个整数；另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有 2021 个整数点，总计 4042 个点这两段图象交点有 2 个点重复，美点”的个数：40422=4040（个）；当 b=2019.5 时，抛物线解析式 L：y=x2+2019.5x，直线解析式 a：y=x2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=1，x2=2019.5，当 x 取整数时，在一次函数 y=x2019.5 上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x 图象上，当 x 为偶数时，函数值 y 可取整数，可知1 到 2019.5 之间有 1010 个偶数，因此“美点”共有 1010 个故 b=2019 时“美点”的个数为 4040 个，b=2019.5 时“美点”的个数为 1010 个3.（2019，山西中考），山西中考）综合与探究如图，抛物线 y=ax2+bx+6 经过点 A（-2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m（1m4）连接 AC，BC，DB，DC（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD 的面积等于AOC 的面积的?时，求 m 的值；?（3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【解析】【解析】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8）=ax2-2ax-8a，即-8a=6，解得：a=-?，故抛物线的表达式为：y=-?x2+?x+6；（2）点 C（0，6），将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 BC 的表达式为：y=-?x+6，如图所示，过点 D 作 y 轴的平行线交直线 BC 与点 H，设点 D（m，-?m2+?m+6），则点 H（m，-?m+6）SBDC=?HBOB=2（-?m2+?m+6+?m-6）=-?m2+3m，?SACO=?62=?，即：-?m2+3m=?，解得：m=1 或 3（舍去 1），故 m=3；（3）当 m=3 时，点 D（3，?），当 BD 是平行四边形的一条边时，如图所示：M、N 分别有三个点，设点 N（n，-?n2+?n+6）则点 N 的纵坐标为绝对值为?，即|-?n2+?n+6|=?，解得：n=-1 或 3（舍去）或 1?，故点 N（N、N）的坐标为（-1，?）或（1?，-?）或（1-?，-?），当点 N（-1，?）时，由图象可得：点 M（0，0），当 N的坐标为（1?，-?），由中点坐标公式得：点 M（?，0），同理可得：点 M坐标为（-?，0），故点 M 坐标为：（0，0）或（?，0）或（-?，0）；当 BD 是平行四边形的对角线时，点 B、D 的坐标分别为（4，0）、（3，?）设点 M（m，0），点 N（s，t），由中点坐标公式得：?香?香，而 t=-?s2+?s+6，解得：t=?，s=-1，m=8，故点 M 坐标为（8，0）；故点 M 的坐标为：（0，0）或（?，0）或（-?，0）或（8，0）4.（2019，陕西中考），陕西中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：2yaxca xc经过点 A（-3，0）和点 B（0，-6），L 关于原点 O 对称的抛物线为L.（1）求抛物线 L 的表达式；（2）点 P 在抛物线L上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D.若POD 与AOB 相似，求符合条件的点 P 的坐标.【解析】(1)由题意，得9306acacc，解得：16ac ，L：y=x25x6；(2)抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线为L，点 A(-3，0)、B(0，-6)在 L上的对应点分别为 A(3，0)、B(0，6)，设抛物线 L的表达式 yx2bx6，将 A(3，0)代入 yx2bx6，得 b5，抛物线 L的表达式为 yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，设 P(m，m25m6)(m0)，PDy 轴，点 D 的坐标为(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO 与 RtAOB 相似，有 RtPDORtAOB 或 RtODPRtAOB 两种情况，当 RtPDORtAOB 时，则PDODAOBO，即25636mmm，解得 m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；当 RtODPRtAOB 时，则PDODBOAO，即25663mmm，解得 m332，m44，P3(32，34)，P4(4，2)，P1、P2、P3、P4均在第一象限，符合条件的点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(32，34)或(4，2).5.（2019，广 东 中 考），广 东 中 考）如 题 25-1 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛 物 线y=837-x 433x832与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 右侧)，点 D 为抛物线的顶点.点 C 在 y 轴的正半轴上，CD 交 x 轴于点 F，CAD 绕点 C 顺时针旋转得到CFE，点 A 恰好旋转到点 F，连接 BE.（1）求点 A、B、D 的坐标；（2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（3）如题 25-2 图，过顶点 D 作 DD1x 轴于点 D1，点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 PM x 轴，点 M 为垂足，使得PAM 与DD1A 相似（不含全等）.求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标；直接回答这样的点 P 共有几个？【解析】【解析】（1）解：由 y=837-x 433x832=32-3x83得点 D 坐标为（3，32）令 y=0 得 x1=7，x2=1点 A 坐标为（7，0），点 B 坐标为（1，0）（2）证明：过点 D 作 DGy 轴交于点 G，设点 C 坐标为（0，m）DGC=FOC=90，DCG=FCODGCFOCCOCGFODG第 12 页 共 37 页由题意得 CA=CF，CD=CE，DCA=ECF，OA=1，DG=3，CG=m+32COFAFO=OA=1m32m13，解得 m=3（或先设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b，用 D、F 两点坐标求出 y=3x+3，再求出点 C 的坐标）点 C 坐标为（0，3）CD=CE=323 2 32=6tanCFO=FOCO=3CFO=60FCA 是等边三角形CFO=ECFECBABF=BOFO=6CE=BF四边形 BFCE 是平行四边形（3）解：设点 P 坐标为（m，837-m433m832），且点 P 不与点 A、B、D 重合.若PAM 与DD1A 相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等.由（1）得 AD1=4，DD1=32（A）当 P 在点 A 右侧时，m1（a）当PAMDAD1，则PAM=DAD1，此时 P、A、D 三点共线，这种情况不存在（b）当PAMADD1，则PAM=ADD1，此时11DDADAMPM3241-m837-m433m832，解得 m1=35-（舍去），m2=1（舍去），这种不存在（B）当 P 段 AB 之间时，7m1（a）当PAMDAD1，则PAM=DAD1，此时 P 与 D 重合，这种情况不存在（b）当PAMADD1，则PAM=ADD1，此时11DDADAMPM3241-m837-m433m832，解得 m1=35-，m2=1（舍去）（C）当 P 在点 B 左侧时，m7（a）当PAMDAD1，则PAM=DAD1，此时11ADDDAMPM3241-m837-m433m832432，解得 m1=11，m2=1（舍去）（b）当PAMADD1，则PAM=ADD1，此时11DDADAMPM3241-m8。